Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências. A equação que temos é $ y’ = x y $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar $ y $ como uma série de potências e depois igualar os coeficientes para encontrar os termos dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos derivar essa série para encontrar $ y’ $:
Observe que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $.
Passo 4
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial $ y’ = x y $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os índices para que ambos os lados da equação tenham potências de $ x $ iguais. No lado esquerdo, temos $ x^{n-1} $, e no lado direito, $ x^{n+1} $. Para igualar as potências, vamos fazer uma mudança de índice no lado direito. Deixe $ m = n + 1 $, então $ n = m - 1 $:
Agora, renomeamos $ m $ de volta para $ n $:
Passo 6
Para facilitar a comparação, vamos reindexar o lado esquerdo para termos potências de $ x^n $. Substitua $ n-1 $ por $ k $, então $ n = k + 1 $:
Agora, ambas as séries estão em termos de $ x^k $ (ou $ x^n $), permitindo comparar os coeficientes.
Passo 7
Igualando os coeficientes dos mesmos termos de $ x^n $ em ambos os lados da equação, temos:
Para $ n = 0 $:
Para $ n \geq 1 $:
Substituindo $ k = n $:
Portanto:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ a_0 $. Substituindo $ x = 0 $ na série de $ y $:
Então, $ a_0 = 1 $.
Passo 9
Agora, vamos encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência $ a_{n+1} = \frac{a_{n-1}}{n+1} $:
- Para $ n = 0 $: $ a_1 = 0 $
- Para $ n = 1 $: $ a_2 = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2} $
- Para $ n = 2 $: $ a_3 = \frac{a_1}{3} = 0 $
- Para $ n = 3 $: $ a_4 = \frac{a_2}{4} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8} $
- E assim por diante.
Observamos que os coeficientes com índices ímpares são zero.
Passo 10
Portanto, a solução $ y $ pode ser escrita como:
Isso pode ser reconhecido como a expansão em série de potências de $ e{x2/2} $.
Resposta
A solução da EDO usando séries de potências é: