Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
y^prime=x y
y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências. A equação que temos é $ y’ = x y $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar $ y $ como uma série de potências e depois igualar os coeficientes para encontrar os termos dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos derivar essa série para encontrar $ y’ $:
y'
Observe que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $.

Passo 4

Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial $ y’ = x y $:
y
Simplificando o lado direito:
y'

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices para que ambos os lados da equação tenham potências de $ x $ iguais. No lado esquerdo, temos $ x^{n-1} $, e no lado direito, $ x^{n+1} $. Para igualar as potências, vamos fazer uma mudança de índice no lado direito. Deixe $ m = n + 1 $, então $ n = m - 1 $:
x
Agora, renomeamos $ m $ de volta para $ n $:
x^n-1

Passo 6

Para facilitar a comparação, vamos reindexar o lado esquerdo para termos potências de $ x^n $. Substitua $ n-1 $ por $ k $, então $ n = k + 1 $:
x^n
Agora, ambas as séries estão em termos de $ x^k $ (ou $ x^n $), permitindo comparar os coeficientes.

Passo 7

Igualando os coeficientes dos mesmos termos de $ x^n $ em ambos os lados da equação, temos:
Para $ n = 0 $:
x^n
Para $ n \geq 1 $:
n = 0
Substituindo $ k = n $:
(k+1)ak+1 = 0 Rightarrow 1 cdot a1 = 0 Rightarrow a1 = 0
Portanto:
n >= 1

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ a_0 $. Substituindo $ x = 0 $ na série de $ y $:
y(0) = 1
Então, $ a_0 = 1 $.

Passo 9

Agora, vamos encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência $ a_{n+1} = \frac{a_{n-1}}{n+1} $:
  • Para $ n = 0 $: $ a_1 = 0 $
  • Para $ n = 1 $: $ a_2 = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2} $
  • Para $ n = 2 $: $ a_3 = \frac{a_1}{3} = 0 $
  • Para $ n = 3 $: $ a_4 = \frac{a_2}{4} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8} $
  • E assim por diante.
Observamos que os coeficientes com índices ímpares são zero.

Passo 10

Portanto, a solução $ y $ pode ser escrita como:
y
Isso pode ser reconhecido como a expansão em série de potências de $ e{x2/2} $.

Resposta

A solução da EDO usando séries de potências é:
y = e^x^22 = sumn=0^infty x^2n2^n n!

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