Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
y^prime=x^2 y
y(0)=2

Passo 1

Beleza! A questão pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências. A equação é $ y’ = x^{2} y $ e a condição inicial é $ y(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender séries de potências e como aplicá-las em EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
y(x)
Isso significa que $ y(x) $ é uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y(x) $ para encontrar $ y’(x) $. Diferenciando termo a termo, temos:
y(x)
Podemos reindexar a soma para facilitar:
y'(x)

Passo 4

A equação diferencial nos diz que $ y’ = x^{2} y $. Vamos substituir as séries que encontramos:
y' = x^2 y
Para facilitar a comparação, vamos reindexar a segunda soma:
sumn=1^infty an n x^n-1 = x^2 sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty an x^n+2

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de $ x $ em ambas as somas. Para cada $ n \geq 1 $:
x
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 6

Vamos usar a condição inicial $ y(0) = 2 $. Substituindo $ x = 0 $ na série, temos:
y(0) = 2
Então, $ a_0 = 2 $.

Passo 7

Para encontrar os demais coeficientes, usamos a relação de recorrência $ a_n n = a_{n-2} $. Vamos calcular alguns termos:
  • Para $ n = 2 $:
an n = an-2
  • Para $ n = 3 $:
n = 2
Mas não temos $ a_1 $ ainda. Como a série não tem termos negativos, e a EDO não envolve $ y $ sem derivadas, assumimos $ a_1 = 0 $.
  • Para $ n = 4 $:
a2 cdot 2 = a0 Rightarrow a2 = a02 = 22 = 1
E assim por diante.

Passo 8

Continuando esse processo, percebemos que todos os coeficientes ímpares ($ a_1, a_3, a_5, ··· $) são zero. Os coeficientes pares seguem:
a1, a3, a5, ldots
Simplificando:
a2k = a0(2k)! cdot k!

Passo 9

Com os coeficientes determinados, podemos escrever a série completa:
y(x) = a0 + a2 x^2 + a4 x^4 + a6 x^6 + cdots = 2 (1 + x^22 + x^44 + x^68 + cdots )
Essa é a solução da EDO em termos de séries de potências.

Resposta

A solução da equação diferencial $ y’ = x^{2} y $ com $ y(0) = 2 $ é:
y' = x^2 y

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