Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
Passo 1
Beleza! A questão pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências. A equação é $ y’ = x^{2} y $ e a condição inicial é $ y(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender séries de potências e como aplicá-las em EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
Isso significa que $ y(x) $ é uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y(x) $ para encontrar $ y’(x) $. Diferenciando termo a termo, temos:
Podemos reindexar a soma para facilitar:
Passo 4
A equação diferencial nos diz que $ y’ = x^{2} y $. Vamos substituir as séries que encontramos:
Para facilitar a comparação, vamos reindexar a segunda soma:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de $ x $ em ambas as somas. Para cada $ n \geq 1 $:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes.
Passo 6
Vamos usar a condição inicial $ y(0) = 2 $. Substituindo $ x = 0 $ na série, temos:
Então, $ a_0 = 2 $.
Passo 7
Para encontrar os demais coeficientes, usamos a relação de recorrência $ a_n n = a_{n-2} $. Vamos calcular alguns termos:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
Mas não temos $ a_1 $ ainda. Como a série não tem termos negativos, e a EDO não envolve $ y $ sem derivadas, assumimos $ a_1 = 0 $.
- Para $ n = 4 $:
E assim por diante.
Passo 8
Continuando esse processo, percebemos que todos os coeficientes ímpares ($ a_1, a_3, a_5, ··· $) são zero. Os coeficientes pares seguem:
Simplificando:
Passo 9
Com os coeficientes determinados, podemos escrever a série completa:
Essa é a solução da EDO em termos de séries de potências.
Resposta
A solução da equação diferencial $ y’ = x^{2} y $ com $ y(0) = 2 $ é: