Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) simples: $ y’ - y = 0 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. A matéria que vamos usar é séries de potências, que são como somas infinitas de termos com potências de $ x $. Para resolver essa EDO, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y(x) $ em termos da série:
Podemos reescrever isso mudando o índice da soma para deixar a potência de $ x $ como $ x^n $:
Passo 4
Vamos substituir $ y(x) $ e $ y’(x) $ na EDO $ y’ - y = 0 $:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Assim, temos:
Passo 6
Vamos resolver essa relação de recorrência para os coeficientes $ a_n $:
Isso significa que cada coeficiente é o anterior dividido por $ n+1 $.
Passo 7
Vamos achar uma expressão geral para $ a_n $. Sabemos que $ a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} $, então:
Passo 8
Agora, substituímos $ a_n $ na série original:
Reconhecemos que a série $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ é a expansão em série de Taylor da função exponencial $ e^x $.
Passo 9
Então, a solução geral fica:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
Resposta
Finalmente, a solução da EDO é: