Encontre a solução geral para a seguinte equação de Legendre e Bessel (opcional).
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-1 / 4) y=0

Passo 1

Temos a equação
x^2y''+xy'+(x^2-tfrac14)y=0
É pedido encontrar a solução geral. O conteúdo principal aqui é equação de Bessel de ordem nu=1/2.

Passo 2

A equação canônica de Bessel de ordem nu é
x^2y''+xy'+(x^2-nu^2)y=0
Comparando com nosso caso, vemos que nu^2=1/4, logo nu=1/2.

Passo 3

A solução geral da equação de Bessel de ordem nu é
y(x)=C1Jnu(x)+C2J-nu(x)
Aqui fica
y(x)=C1J1/2(x)+C2J-1/2(x)

Passo 4

As funções de Bessel de meia-ordem têm forma fechada:
J1/2(x)=raiztfrac2pi xsin x, J-1/2(x)=raiztfrac2pi xcos x
Substituindo e absorvendo constantes, obtemos uma base de soluções elementares em termos de seno e cosseno.

Resposta

A solução geral pode ser escrita como
y(x)=A,x^-1/2cos x+B,x^-1/2sin x,
com constantes arbitrárias A e B.

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