Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- A expressão é uma função na variável
e o ponto onde se busca o limite é . - O numerador é a fração
. - O denominador é o polinômio
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende a ? Se não existir valor finito, devemos dizer isso e, se for útil, indicar comportamento (infinito, , etc.).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a expressão de uma forma algébrica mais manipulável. Dividir a fração
por
é o mesmo que multiplicar por seu inverso. Portanto
Essa forma deixa explícito o produto no denominador, que podemos simplificar se fatorarmos o polinômio.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio
. Para isso, procuramos raízes resolvendo
Usando a fórmula quadrática ou observando fatores, notamos que
e
são raízes (porque
e
). Assim o polinômio fatora como
Passo 4
Substituindo essa fatoração na expressão obtida no Passo 2:
Essa é a forma simplificada útil para analisar o comportamento quando
.
Passo 5
Agora vamos estudar o limite usando a forma simplificada. Quando
temos:
-
, ou seja, a parte tende ao número positivo . -
.
Portanto o denominadortende para , e o numerador é . Isso indica que a fração tem módulo que cresce sem limite: tende a infinito em módulo. Para determinar o sinal precisamos olhar os dois lados: -
Se
(valores de ligeiramente maiores que ), então pequeno, e ; assim pequeno positivo, logo
- Se
(valores de ligeiramente menores que ), então pequeno (negativo), e ; assim pequeno negativo, logo
Como as duas chamadas “limites laterais” são diferentes (
e
), o limite bilateral não existe como número finito nem mesmo como um único tipo infinito.
Resposta
O limite não existe (diverge).