Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
\lim _{z \rightarrow-2} \frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{z\to -2}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2z-8}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função na variável z e o ponto onde se busca o limite é z=-2.
  • O numerador é a fração \dfrac{1}{z-4}.
  • O denominador é o polinômio z^{2}-2z-8.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando z tende a -2? Se não existir valor finito, devemos dizer isso e, se for útil, indicar comportamento (infinito, \pm\infty, etc.).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a expressão de uma forma algébrica mais manipulável. Dividir a fração \dfrac{1}{z-4} por z^{2}-2z-8 é o mesmo que multiplicar por seu inverso. Portanto
\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2z-8} = \frac{1}{z-4}\cdot\frac{1}{z^{2}-2z-8} = \frac{1}{(z-4)\,(z^{2}-2z-8)}.
Essa forma deixa explícito o produto no denominador, que podemos simplificar se fatorarmos o polinômio.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio z^{2}-2z-8. Para isso, procuramos raízes resolvendo
z^{2}-2z-8=0.
Usando a fórmula quadrática ou observando fatores, notamos que z=4 e z=-2 são raízes (porque 4^{2}-2\cdot4-8=0 e (-2)^{2}-2(-2)-8=0). Assim o polinômio fatora como
z^{2}-2z-8=(z-4)(z+2).

Passo 4

Substituindo essa fatoração na expressão obtida no Passo 2:
\frac{1}{(z-4)\,(z^{2}-2z-8)} = \frac{1}{(z-4)\,(z-4)(z+2)} = \frac{1}{(z-4)^{2}(z+2)}.
Essa é a forma simplificada útil para analisar o comportamento quando z\to -2.

Passo 5

Agora vamos estudar o limite usando a forma simplificada. Quando z\to -2 temos:
  • (z-4)^{2}\to (-2-4)^{2}=(-6)^{2}=36, ou seja, a parte (z-4)^{2} tende ao número positivo 36.
  • z+2\to 0.
    Portanto o denominador (z-4)^{2}(z+2) tende para 36\cdot 0=0, e o numerador é 1. Isso indica que a fração tem módulo que cresce sem limite: tende a infinito em módulo. Para determinar o sinal precisamos olhar os dois lados:
  • Se z\to -2^{+} (valores de z ligeiramente maiores que -2), então z+2>0 pequeno, e (z-4)^{2}>0; assim (z-4)^{2}(z+2)>0 pequeno positivo, logo
\frac{1}{(z-4)^{2}(z+2)}\to +\infty.
  • Se z\to -2^{-} (valores de z ligeiramente menores que -2), então z+2<0 pequeno (negativo), e (z-4)^{2}>0; assim (z-4)^{2}(z+2)<0 pequeno negativo, logo
\frac{1}{(z-4)^{2}(z+2)}\to -\infty.
Como as duas chamadas “limites laterais” são diferentes ( +\infty e -\infty), o limite bilateral não existe como número finito nem mesmo como um único tipo infinito.

Resposta

O limite não existe (diverge).
\displaystyle \lim_{z\to -2^-}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2z-8}=-\infty
\displaystyle \lim_{z\to -2^+}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2z-8}=+\infty

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