Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
\lim _{z \rightarrow 5} \frac{z-5}{z^{2}-10 z+25}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{z\to 5}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}.
Informações dadas: a expressão racional com numerador z-5 e denominador z^{2}-10z+25. O objetivo é usar simplificação algébrica para achar o limite, se ele existir.

Passo 2

Identificar e simplificar o denominador. Vamos fatorar o polinômio z^{2}-10z+25. Uma maneira rápida é reconhecer que é um quadrado perfeito (ou completar o quadrado):
z^{2}-10z+25=(z-5)^{2}.

Passo 3

Substituindo a fatoração na fração e simplificando (observando que a simplificação é válida para z\neq 5, o que basta para estudar o limite):
\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}=\frac{z-5}{(z-5)^{2}}=\frac{1}{z-5}\qquad (z\neq 5).
Explicação didática: como z tende a 5 mas não é exatamente 5 ao considerar a vizinhança, podemos cancelar um fator comum z-5. Isso produz uma função mais simples cuja vizinhança em z=5 determina o limite original.

Passo 4

Analisar o comportamento da função simplificada \dfrac{1}{z-5} quando z se aproxima de 5.
  • Se z\to 5^{+} (aproximação pela direita), então z-5 é um número positivo muito pequeno, logo \dfrac{1}{z-5} é um número muito grande e positivo. Portanto
\lim_{z\to 5^{+}}\frac{1}{z-5}=+\infty.
  • Se z\to 5^{-} (aproximação pela esquerda), então z-5 é um número negativo muito pequeno, logo \dfrac{1}{z-5} é um número muito grande em valor absoluto e negativo. Portanto
\lim_{z\to 5^{-}}\frac{1}{z-5}=-\infty.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite bilateral \lim_{z\to 5}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25} não existe como número finito. Em termos de divergência: a expressão diverge; os limites laterais são \pm\infty.

Resposta

O limite bilateral não existe.
\lim_{z\to 5^{+}}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}=+\infty
\lim_{z\to 5^{-}}\frac{z-5}{z^{2}-10z+25}=-\infty

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