Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão racional com numerador
e denominador
. O objetivo é usar simplificação algébrica para achar o limite, se ele existir.
Passo 2
Identificar e simplificar o denominador. Vamos fatorar o polinômio
. Uma maneira rápida é reconhecer que é um quadrado perfeito (ou completar o quadrado):
Passo 3
Substituindo a fatoração na fração e simplificando (observando que a simplificação é válida para
, o que basta para estudar o limite):
Explicação didática: como
tende a
mas não é exatamente
ao considerar a vizinhança, podemos cancelar um fator comum
. Isso produz uma função mais simples cuja vizinhança em
determina o limite original.
Passo 4
Analisar o comportamento da função simplificada
quando
se aproxima de
.
- Se
(aproximação pela direita), então é um número positivo muito pequeno, logo é um número muito grande e positivo. Portanto
- Se
(aproximação pela esquerda), então é um número negativo muito pequeno, logo é um número muito grande em valor absoluto e negativo. Portanto
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (um vai para
e o outro para
), o limite bilateral
não existe como número finito. Em termos de divergência: a expressão diverge; os limites laterais são
.
Resposta
O limite bilateral não existe.