Provar que para um sistema massa-mola onde a equação de movimento é:
m \ddot{x}+k x=0
com condições de contorno são:
x(t=0)=x_{0}
\dot{x}(t=0)=\dot{x_{0}}
A solução pode ser escrita como:
x(t)=A \cos \left(\omega_{n} t-\varphi\right)
onde
\begin{aligned} & A_{0}=A=\left[x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \\\ & \mathrm{e} \\\ & \varphi=\tan ^{-1}\left(\frac{\dot{x}_{0}}{x_{0} \omega_{n}}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento e as condições iniciais e pede para mostrar que a solução pode ser escrita numa forma com amplitude e fase. Dados importantes (copiando do enunciado):
m\ddot{x}+k x=0
Condições iniciais:
x(0)=x_{0}
\dot{x}(0)=\dot{x}_{0}
O que devemos provar: existe uma solução da forma
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega_{n}t-\varphi\bigr)
com
A=\left[x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{1/2} \qquad\text{e}\qquad \varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}}{x_{0}\,\omega_{n}}\right).

Passo 2

Normalizar a equação e resolver a equação diferencial. Primeiro divido por m para ficar na forma padrão:
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0.
Defino a frequência natural
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Então a equação vira
\ddot{x}+\omega_{n}^{2}x=0.
Agora resolvemos essa equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é tentar uma solução exponencial x(t)=e^{rt}. Substituindo, obtém-se a equação característica
r^{2}+\omega_{n}^{2}=0.
As raízes são
r=\pm i\omega_{n}.
Quando as raízes são puramente imaginárias, a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
x(t)=C_{1}\cos(\omega_{n}t)+C_{2}\sin(\omega_{n}t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui C_{1} e C_{2} representam amplitude das contribuições em coseno e seno — ainda não são a amplitude total nem a fase.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculo \dot{x}(t) derivando a solução:
\dot{x}(t)=-C_{1}\omega_{n}\sin(\omega_{n}t)+C_{2}\omega_{n}\cos(\omega_{n}t).
Agora avalio em t=0.
Para x(0):
x(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1}.
Comparando com a condição x(0)=x_{0} obtemos
C_{1}=x_{0}.
Para \dot{x}(0):
\dot{x}(0)=-C_{1}\omega_{n}\sin 0 + C_{2}\omega_{n}\cos 0 = C_{2}\omega_{n}.
Comparando com \dot{x}(0)=\dot{x}_{0} obtemos
C_{2}=\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}.
Logo a solução com as constantes explícitas é
x(t)=x_{0}\cos(\omega_{n}t)+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\sin(\omega_{n}t).
Até aqui temos a solução válida; agora o objetivo é juntar essas duas parcelas numa única cosseno com amplitude e fase.

Passo 4

Converter x(t)=C_{1}\cos(\omega_{n}t)+C_{2}\sin(\omega_{n}t) numa forma alternativa A\cos(\omega_{n}t-\varphi) usando identidade trigonométrica. A identidade útil é
A\cos(\omega_{n}t-\varphi)=A\cos\varphi\cos(\omega_{n}t)+A\sin\varphi\sin(\omega_{n}t).
Comparando com
x(t)=C_{1}\cos(\omega_{n}t)+C_{2}\sin(\omega_{n}t),
vemos que devemos ter
C_{1}=A\cos\varphi, \qquad C_{2}=A\sin\varphi.
A partir dessas duas igualdades encontramos A e \varphi. Para A, elevando ao quadrado e somando:
A^{2}=C_{1}^{2}+C_{2}^{2},
ou seja
A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}.
Para \varphi, dividimos as equações (quando C_{1}\neq 0):
\tan\varphi=\frac{C_{2}}{C_{1}},
portanto
\varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{2}}{C_{1}}\right).
Observação prática importante (muito útil na prova): a função \tan^{-1} dá um ângulo principal entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Se C_{1} for negativo, o ângulo correto pode ser \varphi+\pi. Por isso, na prática usa-se a função \operatorname{atan2}(C_{2},C_{1}) que resolve o quadrante automaticamente. Se C_{1}=0 então \varphi=\tfrac{\pi}{2} ou -\tfrac{\pi}{2} dependendo do sinal de C_{2}. Mas para escrever a fórmula compacta podemos usar \varphi=\tan^{-1}(C_{2}/C_{1}) lembrando dessas observações.

Passo 5

Substituir C_{1}=x_{0} e C_{2}=\dfrac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}} nas fórmulas para A e \varphi. Assim
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}}
e
\varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}/\omega_{n}}{x_{0}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}}{x_{0}\,\omega_{n}}\right),
com a observação prática de usar \operatorname{atan2} se quiser garantir o sinal/cadinho do quadrante. Finalmente a solução escrita na forma desejada é
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega_{n}t-\varphi\bigr)
com A e \varphi dados acima — exatamente as fórmulas que o enunciado pediu para provar.

Resposta

x(t)=A\cos\!\bigl(\omega_{n}t-\varphi\bigr)
A=\left[x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{1/2}
\varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}}{x_{0}\,\omega_{n}}\right)

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