Provar que para um sistema massa-mola onde a equação de movimento é:
com condições de contorno são:
A solução pode ser escrita como:
onde
A solução pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento e as condições iniciais e pede para mostrar que a solução pode ser escrita numa forma com amplitude e fase. Dados importantes (copiando do enunciado):
Condições iniciais:
O que devemos provar: existe uma solução da forma
com
Passo 2
Normalizar a equação e resolver a equação diferencial. Primeiro divido por
para ficar na forma padrão:
Defino a frequência natural
Então a equação vira
Agora resolvemos essa equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é tentar uma solução exponencial
. Substituindo, obtém-se a equação característica
As raízes são
Quando as raízes são puramente imaginárias, a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui
e
representam amplitude das contribuições em coseno e seno — ainda não são a amplitude total nem a fase.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais para achar
e
. Primeiro calculo
derivando a solução:
Agora avalio em
.
Para :
Para
Comparando com a condição
obtemos
Para
:
Comparando com
obtemos
Logo a solução com as constantes explícitas é
Até aqui temos a solução válida; agora o objetivo é juntar essas duas parcelas numa única cosseno com amplitude e fase.
Passo 4
Converter
numa forma alternativa
usando identidade trigonométrica. A identidade útil é
Comparando com
vemos que devemos ter
A partir dessas duas igualdades encontramos
e
. Para
, elevando ao quadrado e somando:
ou seja
Para
, dividimos as equações (quando
):
portanto
Observação prática importante (muito útil na prova): a função
dá um ângulo principal entre
e
. Se
for negativo, o ângulo correto pode ser
. Por isso, na prática usa-se a função
que resolve o quadrante automaticamente. Se
então
ou
dependendo do sinal de
. Mas para escrever a fórmula compacta podemos usar
lembrando dessas observações.
Passo 5
Substituir
e
nas fórmulas para
e
. Assim
e
com a observação prática de usar
se quiser garantir o sinal/cadinho do quadrante. Finalmente a solução escrita na forma desejada é
com
e
dados acima — exatamente as fórmulas que o enunciado pediu para provar.