Use a substituição indicada para reescrever a integral em termos de u. Não calcule a integral.
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{2} x d x ; u=\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \tan^3 x \,\operatorname{sec}^2 x \,dx
e pede para reescrevê-la em termos de u usando a substituição u=\tan x. O conteúdo aqui é troca de variável em integrais indefinidas: vamos expressar \tan^3 x, \operatorname{sec}^2 x\,dx e dx em função de u e du.

Passo 2

Como
u = \tan x,
derivando em relação a x obtemos
du = \operatorname{sec}^2 x\,dx,
portanto
\operatorname{sec}^2 x\,dx = du.

Passo 3

Reescrevemos \tan^3 x em função de u:
\tan^3 x = u^3.

Passo 4

Substituindo \tan^3 x = u^3 e \operatorname{sec}^2 x\,dx = du na integral original, fica
\int \tan^3 x \,\operatorname{sec}^2 x\,dx = \int u^3\,du.

Resposta

\displaystyle \int u^3\,du

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