Use a substituição indicada para reescrever a integral em termos de u. Não calcule a integral.
\int \operatorname{sen}^{3} x \cos ^{2} x d x ; u=\cos x

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
\int \sin^{3}x \,\cos^{2}x \,dx
usando a substituição u=\cos x. O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais: vamos expressar tudo em termos de u e du, sem calcular de fato a integral.

Passo 2

Derivando u=\cos x obtemos
du = -\sin x \,dx
ou seja
\sin x \,dx = -\,du.

Passo 3

Escrevemos \sin^{3}x em função de \cos x:
\sin^{3}x = \sin^{2}x\cdot\sin x = (1 - \cos^{2}x)\,\sin x = (1 - u^{2})\,\sin x,
e temos também \cos^{2}x = u^{2}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\sin^{3}x\,\cos^{2}x\,dx = \bigl(1 - u^{2}\bigr)\,u^{2}\,\sin x\,dx = u^{2}(1 - u^{2})\bigl(-du\bigr) = -\,u^{2}(1 - u^{2})\,du.
Logo,
\int \sin^{3}x\,\cos^{2}x\,dx = -\int u^{2}(1 - u^{2})\,du.

Resposta

-\int u^{2}(1 - u^{2})\,du

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