Use a substituição indicada para reescrever a integral em termos de u. Não calcule a integral.
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x d x ; u=\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede para usar a substituição
u = \operatorname{sec} x
na integral
\int \tan^{3}x \,\operatorname{sec} x \,dx
então precisamos expressar todo o integrando em função de u e du, sem calcular a integral final.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
e, como \operatorname{sec} x = u, temos
\tan^{2}x = u^{2} - 1.
Além disso, do diferencial de u vem
du = \operatorname{sec} x \,\tan x \,dx.

Passo 3

Escrevendo \tan^{3}x como \tan^{2}x\cdot\tan x e agrupando com \operatorname{sec} x\,dx, temos
\tan^{3}x\,\operatorname{sec} x\,dx = (\tan^{2}x)\,(\tan x\,\operatorname{sec} x\,dx) = (u^{2}-1)\,du.
Logo, a integral fica

Resposta

\int (u^{2} - 1)\,du.

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