1 Relembrando a Integral de Riemann
IX No intervalo [2,9] tomou-se a seguinte partição
\mathcal{P}=\{2 ; 3 ; 4,5 ; 5,5 ; 8 ; 8,5 ; 9\} .
Determine
\max _{\mathcal{P}} \Delta_{i} x.
X.
{ }^{1} Consideremos a função
y=x^{2} e vamos usar o método de Riemann para calcular
\int_{0}^{1} x^{2} d x. Para isto, siga o seguinte roteiro:
i) divida o intervalo
[0,1] em
n subintervalos de mesmo comprimento;
ii) em cada subintervalo
\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right], i \in\{1,2, \cdots, n\}, escolha
\bar{x}_{i}=i / n de modo que a altura de cada retângulo será
f\left(\bar{x}_{i}\right)=\left(\frac{i}{n}\right)^{2};
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
A_{n}=\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}} ;
iv) use a identidade
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
para mostrar que
A_{n}=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6 n^{2}};
v) calcule
\lim _{n \rightarrow+\infty} A_{n} e verifique, como vimos em sala, que
\lim _{n \rightarrow+\infty} A_{n}=\int_{0}^{1} x^{2} d x.
x. Sejam
F e
f definidas em
[a, b] e tais que
F^{\prime}=f em
[a, b]; assim
F é uma primitiva de
f em
[a, b]. Seja a partição
P: a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b de
[a, b]. Prove que escolhendo convenientemente
\bar{c}_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], tem-se
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n} f\left(\bar{c}_{i}\right) \Delta_{i} x .