Use a substituição u=x+1 e determine o valor da integral \int_{-1}^{0} x^{2} \sqrt{x+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx
usando a substituição u = x + 1. O conteúdo aqui é integração por substituição simples: devemos reescrever x, dx e os limites em termos de u.

Passo 2

Fazendo u = x + 1, temos
du = dx, \quad x = u - 1,
e, nos limites, quando x = -1 vem u = 0, e quando x = 0 vem u = 1.

Passo 3

Expressamos x^2\sqrt{x+1}\,dx em função de u:
x^2 = (u-1)^2, \quad \sqrt{x+1} = \sqrt{u}, \quad dx = du.
Assim a integral fica
\int_{u=0}^{1} (u-1)^2\,\sqrt{u}\,du = \int_{0}^{1} (u-1)^2\,u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Expandindo (u-1)^2 = u^2 - 2u + 1 e multiplicando por u^{1/2}, obtemos
\int_{0}^{1} \bigl(u^{2} - 2u + 1\bigr)u^{\tfrac12}\,du = \int_{0}^{1} \bigl(u^{\tfrac{5}{2}} - 2u^{\tfrac{3}{2}} + u^{\tfrac12}\bigr)\,du.
Integramos termo a termo:
\int u^{\tfrac{5}{2}}du = \frac{2}{7}u^{\tfrac{7}{2}}, \quad \int u^{\tfrac{3}{2}}du = \frac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}}, \quad \int u^{\tfrac12}du = \frac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}.
Logo
\int_{0}^{1}\bigl(u^{\tfrac{5}{2}} - 2u^{\tfrac{3}{2}} + u^{\tfrac12}\bigr)\,du = \left[\frac{2}{7}u^{\tfrac{7}{2}} - 2\cdot\frac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}} + \frac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliando em u=1 e u=0:
\frac{2}{7}\cdot1 - \frac{4}{5}\cdot1 + \frac{2}{3}\cdot1 \;-\; 0 = \frac{2}{7} - \frac{4}{5} + \frac{2}{3}.
Colocando no denominador comum 105:
\frac{2}{7} = \frac{30}{105}, \quad -\frac{4}{5} = -\frac{84}{105}, \quad \frac{2}{3} = \frac{70}{105},
portanto a soma é
\frac{30 - 84 + 70}{105} = \frac{16}{105}.

Resposta

\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx = \frac{16}{105}.

Exercícios relacionados