Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{d^{2}y}{d x^{2}} = e^{y},
e já sugere a substituição v = \frac{dy}{dx}. Usaremos a identidade
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Substituindo na equação original, obtemos a equação em v e y:
v\,\frac{dv}{dy} = e^{y}.
Agora separamos as variáveis v e y:
v\,dv = e^{y}\,dy.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int v\,dv = \int e^{y}\,dy \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{v^{2}}{2} = e^{y} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Como v = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2\bigl(e^{y} + C_{1}\bigr)}.
O sinal “ \pm” pode ser absorvido numa outra constante de integração posterior.

Passo 4

Separamos de novo as variáveis x e y:
dx = \frac{dy}{\sqrt{2\bigl(e^{y} + C_{1}\bigr)}}.
Integramos:
\int dx = \int \frac{dy}{\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}} \qquad\Longrightarrow\qquad x + C_{2} = \int \frac{dy}{\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}}.
Para avaliar o integral do lado direito, note que, chamando A = \sqrt{2\,C_{1}}, um cálculo padrão leva a
\int \frac{dy}{\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}} = \frac{1}{A}\,\ln\!\Bigl|\frac{\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}-A}{\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}+A}\Bigr| + \text{const.}

Resposta

A solução implícita geral é
x + C_{2} = \frac{1}{\sqrt{2\,C_{1}}} \;\ln\!\Biggl|\frac{\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}-\sqrt{2\,C_{1}}} {\sqrt{2\,(e^{y}+C_{1})}+\sqrt{2\,C_{1}}}\Biggr|,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

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