Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\,y = 0
e a dica de usar a substituição
v = \frac{dy}{dx},
de modo que
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.
O conteúdo aqui é redução de ordem numa ODE usando a relação entre y, v e suas derivadas.

Passo 2

Substituindo \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = v\,\frac{dv}{dy} na equação, obtemos
v\,\frac{dv}{dy} - 2\,y = 0
ou seja
v\,\frac{dv}{dy} = 2\,y.

Passo 3

Separe as variáveis e integre:
v\,dv = 2\,y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \int v\,dv = \int 2\,y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{2} = y^{2} + C_{1}.
Multiplicando por 2, fica
v^{2} = 2\,y^{2} + C_{2},
onde C_{2}=2C_{1} é constante arbitrária.

Passo 4

Lembrando que v = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{2\,y^{2} + C_{2}}.
Separe de novo as variáveis:
\frac{dy}{\sqrt{2\,y^{2} + C_{2}}} = \pm dx.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dy}{\sqrt{2\,y^{2} + C_{2}}} = \pm \int dx \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\bigl|\,\sqrt{2}\,y + \sqrt{2\,y^{2}+C_{2}}\bigr| = \pm x + C_{3}.

Passo 5

Exponentiando e reagrupando constantes, chega-se à forma exponencial. O passo final — que corresponde ao método clássico de equações lineares de coeficientes constantes — dá
y(x) = A\,e^{\sqrt{2}\,x} + B\,e^{-\sqrt{2}\,x},
onde A e B são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{\sqrt{2}\,x} + C_{2}\,e^{-\sqrt{2}\,x}.

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