Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{2}

Passo 1

O enunciado quer a solução geral da EDO
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = y^{2}
usando a substituição de ordem
v = \frac{dy}{dx},
de modo a reduzir a um problema de equação de primeira ordem separável.

Passo 2

Com v = \frac{dy}{dx}, pela regra da cadeia temos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.
Então a EDO original fica
v\,\frac{dv}{dy} = y^{2}.
Separando e integrando em y e v:
\int v\,dv = \int y^{2}\,dy \;\Longrightarrow\; \frac{v^{2}}{2} = \frac{y^{3}}{3} + C_{1}.

Passo 3

Multiplicando por 2 e chamando \,2C_{1} de C, obtemos
v^{2} = \frac{2}{3}\,y^{3} + C, \quad v = \frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}\,y^{3} + C}.
Agora é uma equação de primeira ordem separável em x e y.

Passo 4

Separe as variáveis e integre:
\frac{dy}{\sqrt{\tfrac{2}{3}\,y^{3} + C}} = \pm\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{dy}{\sqrt{\tfrac{2}{3}\,y^{3} + C}} = \pm\,x + C_{2}.
Essa integral em y dá a forma implícita da solução geral.

Resposta

A solução geral da equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = y^{2}
é dada implicitamente por
\int \frac{dy}{\sqrt{\tfrac{2}{3}\,y^{3} + C_{1}}} = x + C_{2},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes de integração.ãçã

Exercícios relacionados