Use o Teo.de Green para calcular o trabalho total realizado pelo campo de forças \vec{F} ao mover uma partícula no sentído anti-horário em torno da curva C para:
\vec{F}(x, y)=\left(e^{x^{2}}+y^{2}\right) \widehat{i}+\left(e^{y^{2}}+x^{2}\right) \widehat{j},onde C é o triângulo com vértices (0,0),(2,0) e (0,2)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho \displaystyle \oint_C \vec F\cdot d\vec r
onde \displaystyle \vec F(x,y)=(e^{x^2}+y^2)\,\widehat i+(e^{y^2}+x^2)\,\widehat j
e C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0),(0,2), orientado anti-horário.
O conteúdo usado será o Teorema de Green, que converte integral de linha em integral dupla.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\iint_R\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=e^{x^2}+y^2 e Q(x,y)=e^{y^2}+x^2, e R é o interior do triângulo.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(e^{y^2}+x^2) =2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2}+y^2) =2y.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2x-2y =2(x-y).

Passo 4

O triângulo R pode ser descrito por \;0\le x\le2,\;0\le y\le 2-x.
Portanto a integral fica
\iint_R 2(x-y)\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{2-x}2(x-y)\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos primeiro em y:
\int_{y=0}^{2-x}2(x-y)\,dy =2\Bigl[x\,y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{2-x} =2\bigl((2x-x^2)-\tfrac{(2-x)^2}{2}\bigr).
Simplificando dentro do parêntese dá
(2x-x^2)-\tfrac{4-4x+x^2}{2} =4x-\tfrac{3}{2}x^2-2,
e ao multiplicar por 2 obtemos
8x-3x^2-4.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}(8x-3x^2-4)\,dx =\Bigl[4x^2-x^3-4x\Bigr]_{0}^{2} =(16-8-8)-0=0.
Portanto, pelo Teorema de Green, o trabalho total é zero.

Resposta

0

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