a família a dois parâmetros é uma solução da equação diferencial indicada no intervalo $-\infty, \infty$. Verifique se pode ser encontrado um membro da família que satisfaça as condições de contorno.
y=c_{1} e^{x} \cos (x)+c_{2} e^{x} \sin (x) ; y^{\prime \"}-2 y^{\prime}+2 y=0
y(0)=1, y^{\prime}(\frac{\pi}{2})=1

Passo 1

O enunciado dá a família de soluções da EDO linear homogênea
y'' - 2y' + 2y = 0
no intervalo -\infty<x<\infty, que é
y = c_{1}e^{x}\cos(x) + c_{2}e^{x}\sin(x),
e pede para verificar se existe algum par (c_{1},c_{2}) de modo a satisfazer as condições de contorno
y(0)=1, \quad y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.

Passo 2

Aplicamos y(0)=1. Como
y(0) = c_{1}e^{0}\cos(0) + c_{2}e^{0}\sin(0) = c_{1}\cdot1\cdot1 + c_{2}\cdot1\cdot0 = c_{1},
segue que
c_{1} = 1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada geral. Escrevendo
y = e^{x}\bigl(c_{1}\cos x + c_{2}\sin x\bigr),
temos, pelo produto e pela derivada de \cos e \sin,
y' = e^{x}\bigl(c_{1}\cos x + c_{2}\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-c_{1}\sin x + c_{2}\cos x\bigr) = e^{x}\bigl(c_{1}(\cos x - \sin x) + c_{2}(\sin x + \cos x)\bigr).

Passo 4

Impondo y'(\tfrac{\pi}{2})=1 e lembrando que c_{1}=1, obtemos
y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = e^{\frac{\pi}{2}}\bigl(1\cdot(\cos\tfrac{\pi}{2}-\sin\tfrac{\pi}{2}) + c_{2}(\sin\tfrac{\pi}{2}+\cos\tfrac{\pi}{2})\bigr) = e^{\frac{\pi}{2}}\bigl(0-1 + c_{2}(1+0)\bigr) = e^{\frac{\pi}{2}}(c_{2}-1).
Igualando a 1, vem
e^{\frac{\pi}{2}}(c_{2}-1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}-1 = e^{-\frac{\pi}{2}} \quad\Longrightarrow\quad c_{2} = 1 + e^{-\frac{\pi}{2}}.

Resposta

c_{1}=1,\quad c_{2}=1+e^{-\frac{\pi}{2}}.

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