Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é encontrar o valor numérico exato da integral definida.
Passo 2
Breve lembrança do Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui):
Se é contínua em
e
é uma primitiva de
(ou seja,
para todo
em
), então
Se
Ou seja, para calcular a integral definida basta achar uma antiderivada
da função integranda e avaliar a diferença
. Vou encontrar uma primitiva de
.
Passo 3
Observação sobre técnica: a presença de
multiplicando uma função de
sugere a substituição
Explico a ideia: se
então
, portanto
. Essa troca costuma simplificar integrais onde aparece
junto com
.
Passo 4
Faço a substituição e também transformo os limites:
- Quando
, tem-se . - Quando
, tem-se .
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora preciso calcular
. Vou usar integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde
e
são escolhidos a partir do integrando.
Escolho
e
. Então:
-
, -
.
Aplicando a fórmula:
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 6
Voltando à integral com o fator
:
Avalio nos extremos:
Multiplicando por
:
Simplificando termos:
Passo 7
Resumo rápido: usando a substituição
e integração por partes encontrei uma primitiva e apliquei o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida. Fica o resultado exato e pronto para a prova — sem calculadora, em forma de logaritmos naturais.