Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
\int_{1}^{2} x \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\;.
  • Os limites de integração são a=1 e b=2.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico exato da integral definida.

Passo 2

Breve lembrança do Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui):
Se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Ou seja, para calcular a integral definida basta achar uma antiderivada F da função integranda e avaliar a diferença F(b)-F(a). Vou encontrar uma primitiva de f(x)=x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Observação sobre técnica: a presença de x multiplicando uma função de x^{2}+1 sugere a substituição
u = x^{2}+1.
Explico a ideia: se u=x^{2}+1 então du = 2x\,dx, portanto x\,dx = \dfrac{du}{2}. Essa troca costuma simplificar integrais onde aparece x junto com x^{2}+1.

Passo 4

Faço a substituição e também transformo os limites:
  • Quando x=1, tem-se u = 1^{2}+1 = 2.
  • Quando x=2, tem-se u = 2^{2}+1 = 5.
Substituindo na integral:
\int_{1}^{2} x \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \int_{u=2}^{u=5} \ln(u)\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{2}^{5} \ln(u)\,du.

Passo 5

Agora preciso calcular \displaystyle \int \ln(u)\,du. Vou usar integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int U\,dv = U V - \int V\,dU,
onde U e dv são escolhidos a partir do integrando.
Escolho U=\ln(u) e dv=du. Então:
  • dU = \dfrac{1}{u}\,du,
  • V = \int dv = \int du = u.
Aplicando a fórmula:
\int \ln(u)\,du = u\ln(u) - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\ln(u) - \int 1\,du = u\ln(u) - u + C.
Portanto uma primitiva de \ln(u) é u\ln(u)-u.

Passo 6

Voltando à integral com o fator 1/2:
\frac{1}{2}\int_{2}^{5} \ln(u)\,du = \frac{1}{2}\Bigl[ u\ln(u) - u \Bigr]_{2}^{5}.
Avalio nos extremos:
\Bigl[ u\ln(u) - u \Bigr]_{2}^{5} = \bigl(5\ln 5 - 5\bigr) - \bigl(2\ln 2 - 2\bigr) = 5\ln 5 - 5 - 2\ln 2 + 2.
Multiplicando por 1/2:
\frac{1}{2}\bigl(5\ln 5 - 5 - 2\ln 2 + 2\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(5\ln 5 - 2\ln 2 - 3\bigr).
Simplificando termos:
\frac{1}{2}\bigl(5\ln 5\bigr) - \frac{1}{2}\bigl(2\ln 2\bigr) - \frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{5}{2}\ln 5 - \ln 2 - \frac{3}{2}.

Passo 7

Resumo rápido: usando a substituição u=x^{2}+1 e integração por partes encontrei uma primitiva e apliquei o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida. Fica o resultado exato e pronto para a prova — sem calculadora, em forma de logaritmos naturais.

Resposta

\dfrac{5}{2}\ln 5 - \ln 2 - \dfrac{3}{2}

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