Calcule a derivada das funções
abaixo
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que é pedido: calcular a derivada
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O integrando é
. - O limite superior da integral é a constante
. - O limite inferior da integral é uma função de
, . - Precisa-se aplicar a regra de diferenciação de integrais com limites dependentes de
.
Passo 2
Regra que vamos usar (fórmula de Leibniz para limites que dependem de
): se
então
Explicando essa fórmula de forma intuitiva e didática:
- Quando
muda, as alterações na integral vêm das mudanças dos limites. - A contribuição do limite superior é
multiplicada pela velocidade com que muda, . - A contribuição do limite inferior tem sinal oposto porque aumentar o limite inferior reduz a área; por isso aparece o termo
.
Essa é uma consequência direta do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Passo 3
Identificar as funções na nossa situação:
-
. -
, então . -
.
Agora calculamos
. Usamos a regra da potência para raízes: a derivada de
é
. Como
, temos
Observação sobre domínio: essa fórmula para
vale para
. Em
a derivada de
é singular (tende a infinito), portanto trataremos
na aplicação direta da regra.
Passo 4
Aplicando a regra de Leibniz:
Como
, o primeiro termo some e ficamos com
Substituindo
e
:
Passo 5
Simplificar sinais e a expressão de
. Note que
Portanto a expressão simplifica para
Podemos reescrever
como
se preferir.
Passo 6
Observações finais e domínio:
- A fórmula encontrada vale para
e desde que a integral original seja bem definida (isto é, o integrando não apresente singularidade para entre e ). Em particular, cuidado se existir algum no intervalo tal que , pois aí não está definida e a integral é imprópria. - Em
a derivada pelo método não é finita, então não é obtido pela fórmula acima; para verificar diferenciabilidade em seria preciso estudar o limite do quociente diferencial diretamente. Em geral, por comportamento tipo , espera-se que a derivada no zero não exista finitamente.
Força aí — a conta principal é curta e a ideia é só aplicar a regra de Leibniz e a regra de potências passo a passo.