Calcule a derivada das funções F(x) abaixo
F(x)=\int_{-\sqrt[3]{x}}^{0} \operatorname{sec} ^{3}\left(t^{2}+1\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=\int_{-\sqrt[3]{x}}^{0} \operatorname{sec}^{3}\!\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt.
O que é pedido: calcular a derivada F'(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O integrando é f(t)=\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(t^{2}+1\bigr).
  • O limite superior da integral é a constante 0.
  • O limite inferior da integral é uma função de x, u(x)=-\sqrt[3]{x}=-x^{1/3}.
  • Precisa-se aplicar a regra de diferenciação de integrais com limites dependentes de x.

Passo 2

Regra que vamos usar (fórmula de Leibniz para limites que dependem de x): se
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt,
então
\frac{d}{dx}G(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Explicando essa fórmula de forma intuitiva e didática:
  • Quando x muda, as alterações na integral vêm das mudanças dos limites.
  • A contribuição do limite superior é f\bigl(v(x)\bigr) multiplicada pela velocidade com que v(x) muda, v'(x).
  • A contribuição do limite inferior tem sinal oposto porque aumentar o limite inferior reduz a área; por isso aparece o termo -f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
    Essa é uma consequência direta do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.

Passo 3

Identificar as funções na nossa situação:
  • f(t)=\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(t^{2}+1\bigr).
  • v(x)=0, então v'(x)=0.
  • u(x)=-\sqrt[3]{x}=-x^{1/3}.
Agora calculamos u'(x). Usamos a regra da potência para raízes: a derivada de x^{1/3} é \tfrac{1}{3}x^{-2/3}. Como u(x)=-x^{1/3}, temos
u'(x)=-\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Observação sobre domínio: essa fórmula para u'(x) vale para x\neq 0. Em x=0 a derivada de x^{1/3} é singular (tende a infinito), portanto trataremos x\neq 0 na aplicação direta da regra.

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz:
F'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Como v'(x)=0, o primeiro termo some e ficamos com
F'(x)=-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo f e u':
F'(x)=-\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(u(x)^{2}+1\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{3}x^{-2/3}\Bigr).

Passo 5

Simplificar sinais e a expressão de u(x)^{2}. Note que
u(x)^{2}=\bigl(-x^{1/3}\bigr)^{2}=x^{2/3}.
Portanto a expressão simplifica para
F'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}\,\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(x^{2/3}+1\bigr).
Podemos reescrever x^{-2/3} como \dfrac{1}{x^{2/3}} se preferir.

Passo 6

Observações finais e domínio:
  • A fórmula encontrada vale para x\neq 0 e desde que a integral original seja bem definida (isto é, o integrando não apresente singularidade para t entre u(x) e 0). Em particular, cuidado se existir algum t no intervalo [\min\{u(x),0\},\max\{u(x),0\}] tal que \cos(t^{2}+1)=0, pois aí \operatorname{sec}^{3}(t^{2}+1) não está definida e a integral é imprópria.
  • Em x=0 a derivada pelo método u'(0) não é finita, então F'(0) não é obtido pela fórmula acima; para verificar diferenciabilidade em 0 seria preciso estudar o limite do quociente diferencial diretamente. Em geral, por comportamento tipo \sqrt[3]{x}, espera-se que a derivada no zero não exista finitamente.
Força aí — a conta principal é curta e a ideia é só aplicar a regra de Leibniz e a regra de potências passo a passo.

Resposta

F'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}\,\operatorname{sec}^{3}\!\bigl(x^{2/3}+1\bigr)

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