Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
f) \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é \sqrt[3]{x}, os limites de integração são a=1 e b=8. A tarefa é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular essa integral ou explicar por que ela não existe.

Passo 2

Verificar se a integral existe (condição mínima para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo). A função \sqrt[3]{x} pode ser escrita como x^{1/3}. Vou analisar sua continuidade no intervalo [1,8].
Uma função potência x^{p} com p racional é contínua para x>0. Aqui temos p=1/3 e o intervalo [1,8] está inteiramente em x>0. Logo, x^{1/3} é contínua em [1,8]. Como é contínua em um intervalo fechado, a integral definida existe e o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado.

Passo 3

Enunciar (de forma prática) o Teorema Fundamental do Cálculo que vou usar: se f é contínua em [a,b] e F for uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Aqui:
  • f(x) é a função integranda ( f(x)=x^{1/3});
  • F(x) é uma primitiva (antiderivada) de f;
  • a e b são os limites do intervalo de integração ( a=1, b=8).
Portanto, minha tarefa passa a ser encontrar uma primitiva F de f(x)=x^{1/3} e avaliar F(8)-F(1).

Passo 4

Encontrar a primitiva usando a regra da potência para integrais: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C.
Explicando a fórmula: p é o expoente da potência, p+1 é o novo expoente após integrar, e o denominador (p+1) aparece porque ao derivar \frac{x^{p+1}}{p+1} volta-se a multiplicar pelo expoente p+1, cancelando o denominador e recuperando x^{p}.
No nosso caso p=\tfrac{1}{3}, que é diferente de -1, então podemos aplicar a fórmula diretamente.

Passo 5

Aplicando a regra com p=\tfrac{1}{3}:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C.
Simplificando a fração \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}, obtemos como primitiva
F(x) = \frac{3}{4}\,x^{4/3} + C.
Aqui C é a constante de integração (irrelevante para integral definida, pois cancela).

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar F(x)=\tfrac{3}{4}x^{4/3}. Pela regra da potência,
F'(x) = \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}\,x^{4/3-1} = x^{1/3},
ou seja F'(x)=f(x). Portanto F é realmente uma primitiva de f.

Passo 7

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(8)-F(1) com F(x)=\tfrac{3}{4}x^{4/3}.
Primeiro calculo 8^{4/3}. Lembre que x^{4/3}=(x^{1/3})^{4}. Como 8^{1/3}=2, segue
8^{4/3} = (8^{1/3})^{4} = 2^{4} = 16.
Também 1^{4/3}=1.
Então
F(8)-F(1) = \frac{3}{4}\bigl(8^{4/3}-1^{4/3}\bigr) = \frac{3}{4}(16-1).

Passo 8

Continuando a simplificação:
\frac{3}{4}(16-1)=\frac{3}{4}\cdot 15 = \frac{45}{4}.
Se preferir em decimal, \frac{45}{4}=11{,}25.

Passo 9

Comentário final e incentivo: a integral existia porque a integranda é contínua no intervalo. O procedimento é sempre: (1) checar continuidade/existência; (2) achar uma primitiva com a regra da potência; (3) avaliar F(b)-F(a). Com prática isso vira rotina — tá indo bem!

Resposta

\dfrac{45}{4}

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