Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida
Informações dadas: a integranda é
, os limites de integração são
e
. A tarefa é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular essa integral ou explicar por que ela não existe.
Passo 2
Verificar se a integral existe (condição mínima para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo). A função
pode ser escrita como
. Vou analisar sua continuidade no intervalo
.
Uma função potência
com
racional é contínua para
. Aqui temos
e o intervalo
está inteiramente em
. Logo,
é contínua em
. Como é contínua em um intervalo fechado, a integral definida existe e o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado.
Passo 3
Enunciar (de forma prática) o Teorema Fundamental do Cálculo que vou usar: se
é contínua em
e
for uma primitiva de
(ou seja,
para todo
em
), então
Aqui:
-
é a função integranda ( ); -
é uma primitiva (antiderivada) de ; -
e são os limites do intervalo de integração ( , ).
Portanto, minha tarefa passa a ser encontrar uma primitiva
de
e avaliar
.
Passo 4
Encontrar a primitiva usando a regra da potência para integrais: para
,
Explicando a fórmula:
é o expoente da potência,
é o novo expoente após integrar, e o denominador
aparece porque ao derivar
volta-se a multiplicar pelo expoente
, cancelando o denominador e recuperando
.
No nosso caso
, que é diferente de
, então podemos aplicar a fórmula diretamente.
Passo 5
Aplicando a regra com
:
Simplificando a fração
, obtemos como primitiva
Aqui
é a constante de integração (irrelevante para integral definida, pois cancela).
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar
. Pela regra da potência,
ou seja
. Portanto
é realmente uma primitiva de
.
Passo 7
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
com
.
Primeiro calculo . Lembre que
. Como
, segue
Primeiro calculo
Também
.
Então
Passo 8
Continuando a simplificação:
Se preferir em decimal,
.
Passo 9
Comentário final e incentivo: a integral existia porque a integranda é contínua no intervalo. O procedimento é sempre: (1) checar continuidade/existência; (2) achar uma primitiva com a regra da potência; (3) avaliar
. Com prática isso vira rotina — tá indo bem!