Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
definida por
Informações dadas:
- A integranda é
, ou seja, . - O limite inferior da integral é a variável
e o limite superior é a constante . - A tarefa: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vou lembrar uma forma simples do Teorema Fundamental do Cálculo que usamos em provas: se
com
contínua, então
Explicação rápida e didática: a integral acumulada até
cresce com taxa igual ao valor instantâneo da função
em
. Aqui é crucial que
seja contínua para garantir diferenciabilidade de
.
Passo 3
Nosso
não está exatamente no formato
; está no formato
. Vou transformar para o formato padrão, usando a propriedade das integrais:
Aplicando isso ao nosso
com
, obtemos
Comentário: essa propriedade vem porque trocar os limites de integração muda o sinal da integral.
Passo 4
Agora defino
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo do Passo 2, temos
Explicação passo a passo: a derivada da integral acumulada até
é simplesmente a integranda avaliada em
.
Passo 5
Como
, usamos a regra da derivada de uma constante vezes função (regra da constante):
Substituindo
do Passo 4,
Explicação: diferenciar uma função multiplicada por
apenas muda o sinal da derivada.
Passo 6
Para confirmar por uma abordagem mais geral (útil na prova), existe a regra de Leibniz para derivar integrais com limites dependentes de
:
No nosso caso
e
. Então
e
, logo
o que confirma o resultado anterior. Comentário: use essa regra quando os dois limites dependerem de
— aqui só o limite inferior depende, então simplifica para o que já fizemos.
Passo 7
Conclusão didática final: a integranda
é contínua em toda parte, então podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo sem medo. Reescrever a integral invertendo limites e aplicar a derivada direta (ou usar Leibniz) nos dá o resultado de forma rápida e segura.