Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
F(x)=\int_{x}^{0} e^{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de F definida por
F(x)=\int_{x}^{0} e^{t^{2}}\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é e^{t^{2}}, ou seja, f(t)=e^{t^{2}}.
  • O limite inferior da integral é a variável x e o limite superior é a constante 0.
  • A tarefa: encontrar F'(x), a derivada de F em função de x.

Passo 2

Vou lembrar uma forma simples do Teorema Fundamental do Cálculo que usamos em provas: se G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt com f contínua, então
G'(x)=f(x).
Explicação rápida e didática: a integral acumulada até x cresce com taxa igual ao valor instantâneo da função f em x. Aqui é crucial que f seja contínua para garantir diferenciabilidade de G.

Passo 3

Nosso F não está exatamente no formato \int_{a}^{x} f(t)\,dt; está no formato \int_{x}^{0} f(t)\,dt. Vou transformar para o formato padrão, usando a propriedade das integrais:
\int_{x}^{0} f(t)\,dt = -\int_{0}^{x} f(t)\,dt.
Aplicando isso ao nosso F com f(t)=e^{t^{2}}, obtemos
F(x) = -\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt.
Comentário: essa propriedade vem porque trocar os limites de integração muda o sinal da integral.

Passo 4

Agora defino G(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo do Passo 2, temos
G'(x)=e^{x^{2}}.
Explicação passo a passo: a derivada da integral acumulada até x é simplesmente a integranda avaliada em t=x.

Passo 5

Como F(x)=-G(x), usamos a regra da derivada de uma constante vezes função (regra da constante):
F'(x) = -G'(x).
Substituindo G'(x) do Passo 4,
F'(x) = -e^{x^{2}}.
Explicação: diferenciar uma função multiplicada por -1 apenas muda o sinal da derivada.

Passo 6

Para confirmar por uma abordagem mais geral (útil na prova), existe a regra de Leibniz para derivar integrais com limites dependentes de x:
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x).
No nosso caso u(x)=x e v(x)=0. Então v'(x)=0 e u'(x)=1, logo
F'(x)=f(0)\cdot 0 - f(x)\cdot 1 = -f(x) = -e^{x^{2}},
o que confirma o resultado anterior. Comentário: use essa regra quando os dois limites dependerem de x — aqui só o limite inferior depende, então simplifica para o que já fizemos.

Passo 7

Conclusão didática final: a integranda e^{t^{2}} é contínua em toda parte, então podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo sem medo. Reescrever a integral invertendo limites e aplicar a derivada direta (ou usar Leibniz) nos dá o resultado de forma rápida e segura.

Resposta

F'(x) = -e^{x^{2}}

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