Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
, ou seja,
.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O integrando é a função
. - O limite inferior da integral é
e o limite superior é (variável). - A variável de integração é
(uma variável “coringa” que desaparece depois de integrar).\n
A pergunta clara: calcular.
Passo 2
Enunciando o que precisamos usar (de forma intuitiva e prática). Se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior igual a
,
e se
for contínua no intervalo considerado, então o Teorema Fundamental do Cálculo diz que a derivada de
é simplesmente o integrando avaliado em
:
O que isso significa na prática:
-
é a função que está dentro da integral; aqui . - A condição de continuidade é satisfeita se
não tiver “quebras” no intervalo. No nosso caso, a função é contínua para todo (a raiz quadrada de nunca dá problema). - Intuição rápida: para pequeno
,
logo a taxa de variação
tende para
quando
.
Passo 3
Aplicando diretamente ao nosso caso. Temos
com integrando contínuo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Aqui é importante entender que trocamos o símbolo da variável de integração
por
ao derivar, porque a derivada “lê” o valor do integrando no ponto onde o limite superior vale
.
Passo 4
Comentário extra útil para prova (variante que aparece com frequência): se o limite superior não for exatamente
mas uma função
, isto é
então por regra da cadeia
Exemplo rápido para fixar: se
, então
Isso mostra como aplicar o mesmo teorema quando o limite superior é uma função de
.