Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
F(x)=\int_{2}^{x} \sqrt{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{2}^{x} \sqrt{1+t^{2}}\,dt
e pede a derivada de F, ou seja, F'(x).\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O integrando é a função t\mapsto \sqrt{1+t^{2}}.
  • O limite inferior da integral é 2 e o limite superior é x (variável).
  • A variável de integração é t (uma variável “coringa” que desaparece depois de integrar).\n
    A pergunta clara: calcular F'(x).

Passo 2

Enunciando o que precisamos usar (de forma intuitiva e prática). Se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior igual a x,
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
e se f for contínua no intervalo considerado, então o Teorema Fundamental do Cálculo diz que a derivada de G é simplesmente o integrando avaliado em x:
G'(x)=f(x).
O que isso significa na prática:
  • f é a função que está dentro da integral; aqui f(t)=\sqrt{1+t^{2}}.
  • A condição de continuidade é satisfeita se f não tiver “quebras” no intervalo. No nosso caso, a função t\mapsto \sqrt{1+t^{2}} é contínua para todo t\in\mathbb{R} (a raiz quadrada de 1+t^2 nunca dá problema).
  • Intuição rápida: para pequeno h,
F(x+h)-F(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt\approx f(x)\,h,
logo a taxa de variação \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} tende para f(x) quando h\to0.

Passo 3

Aplicando diretamente ao nosso caso. Temos F(x)=\int_{2}^{x} \sqrt{1+t^{2}}\,dt com integrando contínuo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
F'(x)=\sqrt{1+x^{2}}.
Aqui é importante entender que trocamos o símbolo da variável de integração t por x ao derivar, porque a derivada “lê” o valor do integrando no ponto onde o limite superior vale x.

Passo 4

Comentário extra útil para prova (variante que aparece com frequência): se o limite superior não for exatamente x mas uma função g(x), isto é
H(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,
então por regra da cadeia
H'(x)=f\big(g(x)\big)\,g'(x).
Exemplo rápido para fixar: se H(x)=\int_{2}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}}\,dt, então
H'(x)=\sqrt{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x=2x\sqrt{1+x^{4}}.
Isso mostra como aplicar o mesmo teorema quando o limite superior é uma função de x.

Resposta

\sqrt{1+x^{2}}

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