Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
11.
,
é o triângulo de
a
a
a
11.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Green, onde com
usando o Teorema de Green, onde
e
é o caminho que vai de
a
a
e retorna a
.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região interna a
:
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região
desde que
seja percorrida positivamente (orientação anti-horária).
Passo 2
Verificamos a orientação de
. O percurso dado é
. Num segmento de
a
a região interna fica à direita do sentido de deslocamento, logo
está orientada no sentido horário. Para aplicar Green precisamos de orientação anti-horária, então ao final multiplicaremos por
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais que entram no integrando de Green:
Portanto
Passo 4
O Teorema de Green diz então, com orientação anti-horária,
Mas como
está orientada no sentido horário, vale
Passo 5
Descrevemos a região
triangular: para
variando de
a
,
varia de
até a reta que liga
a
, dada por
. Assim,
Calculemos:
logo
Passo 6
Voltando à orientação original (horário), temos