Use o teorema de Green para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
13. \mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos y, x \operatorname{sen} y\rangle, C é o círculo (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientado no sentido horário

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde
\mathbf{F}(x,y)=\bigl\langle y-\cos y,\;x\sin y\bigr\rangle
e C é o círculo
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4
orientado no sentido horário.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em contorno fechado com uma integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

O Teorema de Green, em orientação positiva (anti-horário), diz que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Como C está orientado no sentido horário (orientação negativa), temos
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=y-\cos y, \quad Q(x,y)=x\sin y.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin y\bigr) =\sin y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y-\cos y\bigr) =1+\sin y.
Logo, o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\sin y - (1+\sin y) =-1.

Passo 4

Substituindo na integral dupla e lembrando o sinal de orientação,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\iint_{D}(-1)\,dA =\iint_{D}1\,dA =\text{Área}(D).Á
Aqui D é o disco de raio 2, pois (x-3)^{2}+(y+4)^{2}\le4. Então
\text{Área}(D)=\pi\cdot2^{2}=4\pi.Á

Resposta

\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=4\pi.

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