Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o limite da região entre os círculos
e
Passo 1
O enunciado fornece:
- A curva
é o contorno da região entre os círculos e . - Logo, a região
é o anel (anelamento) dado por , onde . - A orientação é positiva (orientação contra-horária para a fronteira exterior).
O que se pede:
- Calcular a integral de linha
.
Informação faltante essencial:
- O enunciado não fornece as funções
e (o campo vetorial). Sem e não é possível obter um valor numérico específico da integral.
Passo 2
Enunciado e explicação do Teorema de Green (fórmula que vamos usar).
O que cada símbolo significa:
-
e são as componentes do campo vetorial . -
é a derivada parcial de em relação a ; é a derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área no plano .
Passo 3
Orientação e contornos em regiões com “buraco” (como um anel).
- Para uma região com uma fronteira interior (o círculo de raio
) e uma fronteira exterior (o círculo de raio ), a orientação positiva requer: - fronteira exterior orientada no sentido anti-horário (contra-horário);
- fronteira interior orientada no sentido horário.
- A fórmula do Teorema de Green já está escrita para a fronteira total com essa convenção de sinais.
Passo 4
Descrição do domínio em coordenadas polares e elemento de área.
- Em coordenadas polares:
- O elemento de área é
. - Para aplicar Green, a integranda
pode ser expressa em usando e .
Passo 5
Fórmula prática da integral para este anel (passo a passo simbólico).
Aplicando Green e trocando para polares:
Aplicando Green e trocando para polares:
onde
deve ser avaliada em
se necessário.
Passo 6
Exemplos para fixar a ideia (pequenos cálculos ilustrativos).
- Se o “vorticidade” (curl) for uma constante
, ou seja
então
- Exemplo concreto: para
tem-se
logo
Passo 7
Conclusão aplicada ao enunciado recebido.
- Como as funções
e não foram fornecidas, não é possível calcular um valor numérico definitivo da integral pedida. - Porém, a integral pode sempre ser reduzida via Green à integral dupla indicada no Passo 5. No caso particular em que o integrando
seja uma constante , o resultado é .
Resposta
Não é possível calcular a integral numérica porque o enunciado não fornece as funções
e
.
Em termos gerais,
Em termos gerais,
Se
constante, então
.