Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
C é o limite da região entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A curva C é o contorno da região entre os círculos \;x^{2}+y^{2}=4\; e \;x^{2}+y^{2}=9\;.
  • Logo, a região R é o anel (anelamento) dado por \{(x,y)\mid 2\le r\le 3,\;0\le\theta<2\pi\}, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A orientação é positiva (orientação contra-horária para a fronteira exterior).
O que se pede:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
Informação faltante essencial:
  • O enunciado não fornece as funções P(x,y) e Q(x,y) (o campo vetorial). Sem P e Q não é possível obter um valor numérico específico da integral.

Passo 2

Enunciado e explicação do Teorema de Green (fórmula que vamos usar).
\text{Se }P(x,y)\text{ e }Q(x,y)\text{ têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de }R,êíç
\displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
O que cada símbolo significa:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q).
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x; \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 3

Orientação e contornos em regiões com “buraco” (como um anel).
  • Para uma região com uma fronteira interior (o círculo de raio 2) e uma fronteira exterior (o círculo de raio 3), a orientação positiva requer:
    • fronteira exterior orientada no sentido anti-horário (contra-horário);
    • fronteira interior orientada no sentido horário.
  • A fórmula do Teorema de Green já está escrita para a fronteira total com essa convenção de sinais.

Passo 4

Descrição do domínio em coordenadas polares e elemento de área.
  • Em coordenadas polares:
R=\{(r,\theta)\mid 2\le r\le 3,\;0\le\theta\le 2\pi\}.
  • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • Para aplicar Green, a integranda \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} pode ser expressa em r,\theta usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.

Passo 5

Fórmula prática da integral para este anel (passo a passo simbólico).
Aplicando Green e trocando para polares:
\displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)r\,dr\,d\theta,
onde \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} deve ser avaliada em (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) se necessário.

Passo 6

Exemplos para fixar a ideia (pequenos cálculos ilustrativos).
  • Se o “vorticidade” (curl) for uma constante k, ou seja
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=k,
então
\displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3} k\,r\,dr\,d\theta = k\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{2}^{3}r\,dr\right) = k\cdot 2\pi\cdot\frac{9-4}{2}=5\pi k.
  • Exemplo concreto: para \;P(x,y)=-y,\;Q(x,y)=x\; tem-se
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2,
logo \displaystyle\oint_{C}(-y)\,dx+x\,dy=5\pi\cdot 2=10\pi.

Passo 7

Conclusão aplicada ao enunciado recebido.
  • Como as funções P e Q não foram fornecidas, não é possível calcular um valor numérico definitivo da integral pedida.
  • Porém, a integral pode sempre ser reduzida via Green à integral dupla indicada no Passo 5. No caso particular em que o integrando \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} seja uma constante k, o resultado é 5\pi k.

Resposta

Não é possível calcular a integral numérica porque o enunciado não fornece as funções P(x,y) e Q(x,y).
Em termos gerais,
\displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)r\,dr\,d\theta.
Se \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=k constante, então \displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=5\pi k.

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