Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva com orientação anti-horária em todos os casos onde a orientação não seja explicitamente dada.
é o limite da região entre os círculos
e
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é o limite da região compreendida entre os círculos
e
. A orientação do contorno não foi explicitada; seguindo a instrução do enunciado, tomamos a orientação anti-horária (ou seja, orientação positiva do contorno). O que se pede, portanto, é calcular a integral de linha sobre todo esse contorno fechado.
Passo 2
Vou transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região
entre os dois círculos, usando o resultado que relaciona integrais de linha e integrais duplas para campos do tipo
. Seja
A fórmula que vamos usar é
Aqui
é o contorno de
com orientação positiva (para uma região anelar isso significa: círculo externo orientado anti-horária e círculo interno orientado horário — essa é a convenção de orientação positiva do contorno de uma região com furo). Esta igualdade permite substituir a integral de linha pela integral dupla da diferença das derivadas parciais indicadas.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais que aparecem no integrando:
porque
e
(note que
é tratado como constante na derivação em relação a
).
E
E
já que
depende apenas de
.
Passo 4
Portanto o integrando fica
Assim
Passo 5
A região
é o anel entre os círculos de raio
e
. Para integrar sobre
é muito conveniente usar coordenadas polares. Faço a troca
e o elemento de área é
. Os limites são
e
.
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Logo
Passo 7
Separando as integrais (produto de uma função de
por uma função de
):
Calculo a parte radial:
Calculo a parte angular:
Passo 8
Multiplicando as duas partes obtemos
Portanto a integral dupla vale
, e por consequência a integral de linha também vale
.
Observação alternativa (intuitiva): o integrando original transformado para a integral dupla ficou proporcional a
. A região
é simétrica em relação ao eixo
; a função
é ímpar em
(muda de sinal quando
troca de sinal), então a integral sobre uma região simétrica em
é zero — isso confirma o resultado sem cálculo dos termos.
Resposta
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