Considere uma economia com n bens. Organizamos os dados econômicos na forma de vetores em \mathbb{R}^{n} : o vetor de preços p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) e o vetor de quantidades q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), onde p_{i} representa o preço do bem i e q_{i} a quantidade consumida desse bem. Note que o valor total de uma cesta de consumo pode ser escrito como o produto escalar
\langle p, q\rangle=\sum_{i=1}^{n} p_{i} q_{i},
Denote por p^{0}, p^{1} \in \mathbb{R}^{n} os vetores de preços nos períodos 0 e 1 , e por q^{0}, q^{1} \in \mathbb{R}^{n} os vetores de quantidades consumidas nesses períodos. O índice de Laspeyres e o índice de Paasche são definidos por
L=\frac{\left\langle p^{1}, q^{0}\right\rangle}{\left\langle p^{0}, q^{0}\right\rangle} \quad \text { e } \quad P=\frac{\left\langle p^{1}, q^{1}\right\rangle}{\left\langle p^{0}, q^{1}\right\rangle}
Considere a seguinte tabela de dados para três bens:
Bem p^{0} q^{0} p^{1} q^{1}
1 2 10 3 8
2 1 20 2 18
3 4 5 5 6
a) Escreva explicitamente os vetores p^{0}, p^{1}, q^{0}, q^{1} em \mathbb{R}^{3}.
b) Calcule os produtos escalares \left\langle p^{0}, q^{0}\right\rangle,\left\langle p^{1}, q^{0}\right\rangle,\left\langle p^{0}, q^{1}\right\rangle e \left\langle p^{1}, q^{1}\right\rangle.
c) Calcule os índices de Laspeyres L e de Paasche P.
d) Compare os valores obtidos e interprete os resultados.
Interpretação Econômica: Os índices de Laspeyres e de Paasche são índices de preços ao consumidor amplamente utilizados para medir variações no custo de vida. Em geral, o índice de Laspeyres tende a superestimar a inflação, enquanto o índice de Paasche tende a subestimá-la.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos (peguei os números da tabela do enunciado).
Perguntas do enunciado:
  • (a) Escrever explicitamente os vetores p^{0}, p^{1}, q^{0}, q^{1} em \mathbb{R}^{3}.
  • (b) Calcular os produtos escalares \langle p^{0},q^{0}\rangle, \langle p^{1},q^{0}\rangle, \langle p^{0},q^{1}\rangle e \langle p^{1},q^{1}\rangle.
  • (c) Calcular os índices de Laspeyres L e de Paasche P.
  • (d) Comparar os valores obtidos e interpretar os resultados.
Dados fornecidos (da tabela):
  • Para o bem 1: p^{0}_{1}=2,\; q^{0}_{1}=10,\; p^{1}_{1}=3,\; q^{1}_{1}=8.
  • Para o bem 2: p^{0}_{2}=1,\; q^{0}_{2}=20,\; p^{1}_{2}=2,\; q^{1}_{2}=18.
  • Para o bem 3: p^{0}_{3}=4,\; q^{0}_{3}=5,\; p^{1}_{3}=5,\; q^{1}_{3}=6.

Passo 2

Escrevendo os vetores em \mathbb{R}^{3} agrupando os componentes na ordem (bem 1, bem 2, bem 3):
p^{0} = (2,\,1,\,4),\qquad q^{0}=(10,\,20,\,5),
p^{1} = (3,\,2,\,5),\qquad q^{1}=(8,\,18,\,6).
Explicação rápida: cada vetor lista os três preços (ou quantidades) na mesma ordem dos bens; assim a componente i representa o bem i.

Passo 3

Definição do produto escalar (dot product) e cálculo de \langle p^{0},q^{0}\rangle.
  • Definição: para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) em \mathbb{R}^{3},
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
Cada termo é o preço do bem vezes a quantidade do mesmo bem; somando dá o valor total da cesta.
  • Agora calculo \langle p^{0},q^{0}\rangle:
\langle p^{0},q^{0}\rangle = 2\cdot 10 + 1\cdot 20 + 4\cdot 5.
Faço as multiplicações:
2\cdot 10 = 20,\qquad 1\cdot 20 = 20,\qquad 4\cdot 5 = 20.
Somando:
\langle p^{0},q^{0}\rangle = 20+20+20 = 60.

Passo 4

Cálculo de \langle p^{1},q^{0}\rangle:
\langle p^{1},q^{0}\rangle = 3\cdot 10 + 2\cdot 20 + 5\cdot 5.
Multiplico termo a termo:
3\cdot 10 = 30,\qquad 2\cdot 20 = 40,\qquad 5\cdot 5 = 25.
Somando:
\langle p^{1},q^{0}\rangle = 30+40+25 = 95.

Passo 5

Cálculo de \langle p^{0},q^{1}\rangle:
\langle p^{0},q^{1}\rangle = 2\cdot 8 + 1\cdot 18 + 4\cdot 6.
Multiplico:
2\cdot 8 = 16,\qquad 1\cdot 18 = 18,\qquad 4\cdot 6 = 24.
Somando:
\langle p^{0},q^{1}\rangle = 16+18+24 = 58.

Passo 6

Cálculo de \langle p^{1},q^{1}\rangle:
\langle p^{1},q^{1}\rangle = 3\cdot 8 + 2\cdot 18 + 5\cdot 6.
Multiplico:
3\cdot 8 = 24,\qquad 2\cdot 18 = 36,\qquad 5\cdot 6 = 30.
Somando:
\langle p^{1},q^{1}\rangle = 24+36+30 = 90.

Passo 7

Definição dos índices e cálculo numérico.
  • Definição do índice de Laspeyres:
L = \frac{\langle p^{1},q^{0}\rangle}{\langle p^{0},q^{0}\rangle}.
Substituindo os valores que calculamos:
L = \frac{95}{60} = \frac{19}{12}\approx 1{,}5833.
Isto significa que, mantendo as quantidades fixas no período 0 (cesta-base), o custo da cesta subiu aproximadamente 58{,}33\% do período 0 para 1.
  • Definição do índice de Paasche:
P = \frac{\langle p^{1},q^{1}\rangle}{\langle p^{0},q^{1}\rangle}.
Substituindo:
P = \frac{90}{58} \approx 1{,}5517241379\approx 1{,}5517.
Isto significa que, valorizando a cesta com as quantidades do período 1 (cesta atual), o custo subiu aproximadamente 55{,}17\%.

Passo 8

Comparação e interpretação econômica (intuitiva e passo a passo).
  • Valores numéricos:
L \approx 1{,}5833,\qquad P \approx 1{,}5517.
Portanto L > P (aproximadamente 1{,}5833 > 1{,}5517).
  • Interpretação intuitiva e por que isso ocorre:
    • O índice de Laspeyres usa as quantidades do período base q^{0}. Assim ele mede quanto custaria comprar a mesma cesta do período 0 com os preços do período 1. Se os consumidores substituem (reduzem consumo de bens que ficaram muito mais caros), o Laspeyres não capta essa substituição — ele mantém as quantidades antigas — e por isso costuma mostrar uma variação de preços maior (tende a superestimar a inflação).
    • O índice de Paasche usa as quantidades do período corrente q^{1}. Ele mede quanto a cesta corrente custaria com preços antigos versus preços novos. Como as quantidades atuais tendem a refletir substituição para bens relativamente mais baratos, o Paasche incorpora esse ajuste e tende a mostrar uma variação menor (tende a subestimar a inflação relativa ao “verdadeiro” custo de vida).
    • No exemplo: observou-se que alguns preços subiram (por exemplo bem 1 de 2 para 3) e os consumidores reduziram a quantidade do bem 1 (de 10 para 8), comportamento de substituição que explica por que P fica um pouco menor que L.
  • Conclusão prática: neste caso concreto, o índice de Laspeyres indica aumento de preço maior ( \approx 58{,}33\%) do que o índice de Paasche ( \approx 55{,}17\%), alinhado com a expectativa geral de que Laspeyres tende a superestimar e Paasche tende a subestimar a inflação quando há substituição entre bens.

Resposta

(a) p^{0}=(2,\,1,\,4),\quad q^{0}=(10,\,20,\,5),\quad p^{1}=(3,\,2,\,5),\quad q^{1}=(8,\,18,\,6)
(b) \langle p^{0},q^{0}\rangle=60,\quad \langle p^{1},q^{0}\rangle=95,\quad \langle p^{0},q^{1}\rangle=58,\quad \langle p^{1},q^{1}\rangle=90
(c) L=\dfrac{95}{60}=\dfrac{19}{12}\approx 1{,}5833,\quad P=\dfrac{90}{58}\approx 1{,}5517
(d) L>P; o índice de Laspeyres ( \approx58{,}33\% de aumento) é maior que o de Paasche ( \approx55{,}17\%), coerente com o fato de Laspeyres não captar substituição entre bens enquanto Paasche reflete as quantidades correntes.

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