Considere uma economia com
bens. Organizamos os dados econômicos na forma de vetores em
: o vetor de preços
e o vetor de quantidades
, onde
representa o preço do bem
e
a quantidade consumida desse bem. Note que o valor total de uma cesta de consumo pode ser escrito como o produto escalar
Denote por
os vetores de preços nos períodos 0 e 1 , e por
os vetores de quantidades consumidas nesses períodos. O índice de Laspeyres e o índice de Paasche são definidos por
Considere a seguinte tabela de dados para três bens:
Bem
1
2
10
3
8
2
1
20
2
18
3
4
5
5
6
a) Escreva explicitamente os vetores
em
.
b) Calcule os produtos escalares
e
.
c) Calcule os índices de Laspeyres
e de Paasche
.
d) Compare os valores obtidos e interprete os resultados.
Interpretação Econômica: Os índices de Laspeyres e de Paasche são índices de preços ao consumidor amplamente utilizados para medir variações no custo de vida. Em geral, o índice de Laspeyres tende a superestimar a inflação, enquanto o índice de Paasche tende a subestimá-la.
| Bem |
|
|
|
|
| 1 | 2 | 10 | 3 | 8 |
| 2 | 1 | 20 | 2 | 18 |
| 3 | 4 | 5 | 5 | 6 |
b) Calcule os produtos escalares
c) Calcule os índices de Laspeyres
d) Compare os valores obtidos e interprete os resultados.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos (peguei os números da tabela do enunciado).
Perguntas do enunciado:
- (a) Escrever explicitamente os vetores
em . - (b) Calcular os produtos escalares
, , e . - (c) Calcular os índices de Laspeyres
e de Paasche . - (d) Comparar os valores obtidos e interpretar os resultados.
Dados fornecidos (da tabela):
- Para o bem 1:
. - Para o bem 2:
. - Para o bem 3:
.
Passo 2
Escrevendo os vetores em
agrupando os componentes na ordem (bem 1, bem 2, bem 3):
Explicação rápida: cada vetor lista os três preços (ou quantidades) na mesma ordem dos bens; assim a componente
representa o bem
.
Passo 3
Definição do produto escalar (dot product) e cálculo de
.
- Definição: para
e em ,
Cada termo é o preço do bem vezes a quantidade do mesmo bem; somando dá o valor total da cesta.
- Agora calculo
:
Faço as multiplicações:
Somando:
Passo 4
Cálculo de
:
Multiplico termo a termo:
Somando:
Passo 5
Cálculo de
:
Multiplico:
Somando:
Passo 6
Cálculo de
:
Multiplico:
Somando:
Passo 7
Definição dos índices e cálculo numérico.
- Definição do índice de Laspeyres:
Substituindo os valores que calculamos:
Isto significa que, mantendo as quantidades fixas no período
(cesta-base), o custo da cesta subiu aproximadamente
do período 0 para 1.
- Definição do índice de Paasche:
Substituindo:
Isto significa que, valorizando a cesta com as quantidades do período
(cesta atual), o custo subiu aproximadamente
.
Passo 8
Comparação e interpretação econômica (intuitiva e passo a passo).
- Valores numéricos:
Portanto
(aproximadamente
).
-
Interpretação intuitiva e por que isso ocorre:
- O índice de Laspeyres usa as quantidades do período base
. Assim ele mede quanto custaria comprar a mesma cesta do período 0 com os preços do período 1. Se os consumidores substituem (reduzem consumo de bens que ficaram muito mais caros), o Laspeyres não capta essa substituição — ele mantém as quantidades antigas — e por isso costuma mostrar uma variação de preços maior (tende a superestimar a inflação). - O índice de Paasche usa as quantidades do período corrente
. Ele mede quanto a cesta corrente custaria com preços antigos versus preços novos. Como as quantidades atuais tendem a refletir substituição para bens relativamente mais baratos, o Paasche incorpora esse ajuste e tende a mostrar uma variação menor (tende a subestimar a inflação relativa ao “verdadeiro” custo de vida). - No exemplo: observou-se que alguns preços subiram (por exemplo bem 1 de
para ) e os consumidores reduziram a quantidade do bem 1 (de para ), comportamento de substituição que explica por que fica um pouco menor que .
- O índice de Laspeyres usa as quantidades do período base
-
Conclusão prática: neste caso concreto, o índice de Laspeyres indica aumento de preço maior (
) do que o índice de Paasche ( ), alinhado com a expectativa geral de que Laspeyres tende a superestimar e Paasche tende a subestimar a inflação quando há substituição entre bens.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
; o índice de Laspeyres (
de aumento) é maior que o de Paasche (
), coerente com o fato de Laspeyres não captar substituição entre bens enquanto Paasche reflete as quantidades correntes.