Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando o Teorema dos Resíduos, a integral
sabendo-se que para
o resultado deve ser
Vamos parametrizar pela circunferência unitária no plano complexo, isto é, usar
,
e
.
Passo 2
Substituindo na integral, obtemos
Colocando num só quociente, o denominador fica
logo
Passo 3
Determinar os polos da função
resolvendo
. As raízes são
Para
escrevemos
, ficando
Passo 4
Verifica-se que
e
quando
. Assim, só
está dentro da circunferência unitária, e é aí que calculamos o resíduo.
Passo 5
O resíduo de
em
é
Mas
logo
Passo 6
Pelo Teorema dos Resíduos,