Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{1+a \operatorname{sen} \theta} d \theta=\frac{2 \pi}{\sqrt{1-a^{2}}},|a|<1

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando o Teorema dos Resíduos, a integral
I = \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{1 + a \sin\theta}
sabendo-se que para |a|<1 o resultado deve ser
I = \frac{2\pi}{\sqrt{1 - a^2}}.
Vamos parametrizar pela circunferência unitária no plano complexo, isto é, usar z=e^{i\theta}, \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i} e d\theta = \frac{dz}{i\,z}.

Passo 2

Substituindo na integral, obtemos
I = \oint_{|z|=1} \frac{1}{1 + a\frac{z - z^{-1}}{2i}}\,\frac{dz}{i\,z}.
Colocando num só quociente, o denominador fica
1 + a\frac{z - z^{-1}}{2i} = \frac{2i\,z + a\,(z^2 - 1)}{2i\,z} = \frac{a\,z^2 + 2i\,z - a}{2i\,z},
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I = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\displaystyle\frac{a\,z^2 + 2i\,z - a}{2i\,z}}\;\frac{dz}{i\,z} = \oint_{|z|=1} \frac{2i\,z}{a\,z^2 + 2i\,z - a}\;\frac{dz}{i\,z} = \oint_{|z|=1} \frac{2\,dz}{a\,z^2 + 2i\,z - a}.

Passo 3

Determinar os polos da função
f(z)=\frac{2}{a\,z^2 + 2i\,z - a}
resolvendo a\,z^2 + 2i\,z - a=0. As raízes são
z_{1,2} = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 + 4a^2}}{2a} = \frac{-2i \pm 2\sqrt{a^2 -1}}{2a} = \frac{-i \pm \sqrt{a^2-1}}{a}.
Para |a|<1 escrevemos \sqrt{a^2-1}=i\sqrt{1-a^2}, ficando
z_1 = -\,\frac{i\,(1 - \sqrt{1-a^2})}{a},\quad z_2 = -\,\frac{i\,(1 + \sqrt{1-a^2})}{a}.

Passo 4

Verifica-se que |z_1|<1 e |z_2|>1 quando |a|<1. Assim, só z_1 está dentro da circunferência unitária, e é aí que calculamos o resíduo.

Passo 5

O resíduo de f em z_1 é
\Res(f,z_1) = \lim_{z\to z_1}(z-z_1)\frac{2}{a\,z^2+2i\,z-a} = \frac{2}{\bigl.\frac{d}{dz}(a\,z^2+2i\,z-a)\bigr|_{z=z_1}} = \frac{2}{2a\,z_1 +2i} = \frac{1}{a\,z_1 + i}.
Mas
a\,z_1 + i = a\Bigl(-\frac{i(1-\sqrt{1-a^2})}{a}\Bigr)+i = -\,i(1-\sqrt{1-a^2}) + i = i\,\sqrt{1-a^2},
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\Res(f,z_1)=\frac{1}{i\,\sqrt{1-a^2}}=-\,\frac{i}{\sqrt{1-a^2}}.

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos,
I = \oint_{|z|=1} f(z)\,dz = 2\pi i \;\Res(f,z_1) = 2\pi i \Bigl(-\frac{i}{\sqrt{1-a^2}}\Bigr) = \frac{2\pi}{\sqrt{1-a^2}}.

Resposta

\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1 + a\sin\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{1 - a^2}}, \quad |a|<1.

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