Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^{2}} d \theta=\pi a\left(1+a^{2}\right)^{-3 / 2}, a>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando o Teorema dos Resíduos, a integral
I = \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{\bigl(a+\cos\theta\bigr)^{2}}
com a>1.
O conteúdo principal é transformar a integral em uma integral de contorno no plano complexo, usando a substituição
z = e^{i\theta},\quad \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2},\quad d\theta = \frac{dz}{i\,z},
e então aplicar o Teorema dos Resíduos para avaliar o contorno em \lvert z\rvert=1.

Passo 2

Fazendo a troca de variável, temos
a + \cos\theta = a + \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z^2 + 2a\,z + 1}{2\,z}
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\bigl(a+\cos\theta\bigr)^{2} = \frac{\bigl(z^2 + 2a\,z + 1\bigr)^{2}}{4\,z^2}
e
d\theta = \frac{dz}{i\,z}.
Substituindo em I,
I = \int_{|z|=1} \frac{1}{\bigl(a+\cos\theta\bigr)^{2}}\;\frac{dz}{i\,z} = \int_{|z|=1} \frac{4\,z^2}{\bigl(z^2+2a\,z+1\bigr)^{2}} \;\frac{dz}{i\,z} = \frac{4}{i}\int_{|z|=1}\frac{z}{\bigl(z^2+2a\,z+1\bigr)^{2}}\,dz.

Passo 3

O denominador fatora-se como
z^2 + 2a\,z + 1 = (z - z_{1})(z - z_{2}),
com
z_{1} = -a + \sqrt{a^{2}-1},\quad z_{2} = -a - \sqrt{a^{2}-1}.
Como a>1, tem-se \lvert z_{1}\rvert<1 e \lvert z_{2}\rvert>1.
Portanto o integrando só tem um polo duplo dentro do círculo unidade, em z=z_{1}.

Passo 4

Chamando
f(z) = \frac{4}{i}\,\frac{z}{\bigl(z-z_{1}\bigr)^{2}\bigl(z-z_{2}\bigr)^{2}},
a contribuição da volta completa é
I = 2\pi i\;\Res\bigl(f,\,z_{1}\bigr).
Para um polo duplo,
\Res\bigl(f,z_{1}\bigr) = \lim_{z\to z_{1}}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_{1})^{2}f(z)\Bigr] = \frac{4}{i}\,\lim_{z\to z_{1}}\frac{d}{dz}\frac{z}{(z-z_{2})^{2}}.
Calcula-se então
\frac{d}{dz}\frac{z}{(z-z_{2})^{2}} \Bigg|_{z=z_{1}} = \frac{1}{(z_{1}-z_{2})^{2}} - \frac{2\,z_{1}}{(z_{1}-z_{2})^{3}} = \frac{-\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr)}{(z_{1}-z_{2})^{3}} = \frac{2a}{\bigl(2\sqrt{a^{2}-1}\bigr)^{3}} = \frac{a}{4\,(a^{2}-1)^{3/2}}.
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\Res\bigl(f,z_{1}\bigr) = \frac{4}{i}\,\frac{a}{4\,(a^{2}-1)^{3/2}} = \frac{a}{i\,(a^{2}-1)^{3/2}}.
E finalmente
I = 2\pi i \cdot \frac{a}{i\,(a^{2}-1)^{3/2}} = \frac{2\pi\,a}{(a^{2}-1)^{3/2}}.

Resposta

\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{\bigl(a+\cos\theta\bigr)^{2}} = \frac{2\pi\,a}{\bigl(a^{2}-1\bigr)^{3/2}},\quad a>1.

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