Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando o Teorema dos Resíduos, a integral
com
.
O conteúdo principal é transformar a integral em uma integral de contorno no plano complexo, usando a substituição
O conteúdo principal é transformar a integral em uma integral de contorno no plano complexo, usando a substituição
e então aplicar o Teorema dos Resíduos para avaliar o contorno em
.
Passo 2
Fazendo a troca de variável, temos
logo
e
Substituindo em
,
Passo 3
O denominador fatora-se como
com
Como
, tem-se
e
.
Portanto o integrando só tem um polo duplo dentro do círculo unidade, em .
Portanto o integrando só tem um polo duplo dentro do círculo unidade, em
Passo 4
Chamando
a contribuição da volta completa é
Para um polo duplo,
Calcula-se então
Logo
E finalmente