Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2 n} \theta d \theta=\pi \frac{(2 n)!}{\left(2^{n} n!\right)^{2}}, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
I_n = \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2n}\theta \, d\theta,
para n\in\mathbb{N}, usando o teorema dos resíduos. Vamos converter essa integral real num integral de contorno na circunferência unitária \lvert z\rvert=1, tomando z=e^{i\theta} e
\operatorname{sen}\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}.

Passo 2

Primeiro observamos que \operatorname{sen}^{2n}\theta é 2\pi-periódica e par em \theta, logo
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2n}\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{2n}\theta\,d\theta = 2\,I_n.
Em seguida, com z=e^{i\theta} temos d\theta = \frac{dz}{iz} e
\operatorname{sen}^{2n}\theta = \Bigl(\frac{z - z^{-1}}{2i}\Bigr)^{2n} = \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\,(z - z^{-1})^{2n}.
Portanto
2\,I_n = \int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2n}\theta\,d\theta = \oint_{\lvert z\rvert=1} \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\,(z - z^{-1})^{2n}\,\frac{dz}{iz}.
Isto é
2\,I_n = \frac{(-1)^n}{2^{2n}\,i}\,\oint_{\lvert z\rvert=1} \frac{(z - z^{-1})^{2n}}{z}\,dz.

Passo 3

Para aplicar o teorema dos resíduos, expandimos
(z - z^{-1})^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}\,z^{\,2n-2k}\,(-1)^k.
Logo o integrando é
\frac{(z - z^{-1})^{2n}}{z} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}(-1)^k\,z^{\,2n-2k-1}.
O único termo que contribui para o resíduo em z=0 é o de potência z^{-1}, que ocorre quando
2n - 2k - 1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad k = n.
Portanto o coeficiente de z^{-1} é
\binom{2n}{n}(-1)^n.

Passo 4

O valor do integral de contorno é
\oint_{\lvert z\rvert=1} \frac{(z - z^{-1})^{2n}}{z}\,dz = 2\pi i \;\bigl[\text{resíduo em }0\bigr] = 2\pi i \,\binom{2n}{n}(-1)^n.í
Substituindo em
2\,I_n = \frac{(-1)^n}{2^{2n}\,i}\times 2\pi i \,\binom{2n}{n}(-1)^n = \frac{2\pi}{2^{2n}}\binom{2n}{n}
vemos que
I_n = \frac{1}{2}\,\frac{2\pi}{2^{2n}}\binom{2n}{n} = \pi\,\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}.
Finalmente, usando \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}, obtemos
I_n = \pi\,\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{2n}\theta\,d\theta = \pi\,\frac{(2n)!}{\bigl(2^n\,n!\bigr)^{2}}.

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