Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema dos Resíduos. O que vamos precisar:
- Representar
como parte real de um integral de contorno de
. - Escolher contorno semicircular no semiplano superior e usar o Lema de Jordan.
- Calcular o resíduo de
em (polo duplo) e aplicar
.
Passo 2
Relacionamos
Como
é par em
, temos
e portanto
Passo 3
Considere o contorno
formado pela reta de
a
e o arco
de raio
no semiplano
. Pelo Lema de Jordan,
quando
.
Pelo Teorema dos Resíduos,
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 4
O ponto
é polo de ordem 2 de
.
O resíduo para polo duplo é
O resíduo para polo duplo é
Calculando a derivada:
Passo 5
Substituindo em
:
Tomando a parte real e dividindo por 2, vem