Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{\pi}{2 e}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx
usando o Teorema dos Resíduos. O que vamos precisar:
  1. Representar I como parte real de um integral de contorno de
    \displaystyle f(z)=\frac{e^{iz}}{(1+z^{2})^{2}}.
  2. Escolher contorno semicircular no semiplano superior e usar o Lema de Jordan.
  3. Calcular o resíduo de f em z=i (polo duplo) e aplicar
    \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2\pi i\sum\mathrm{Res}.

Passo 2

Relacionamos
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\Re\Biggl\{\int_{0}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx\Biggr\}.
Como e^{ix}/(1+x^{2})^{2} é par em x, temos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx
e portanto
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\Re\Biggl\{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx\Biggr\}.

Passo 3

Considere o contorno C formado pela reta de -R a R e o arco
\gamma_R de raio R no semiplano \Im z\ge0. Pelo Lema de Jordan,
\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)\,dz\to0 quando R\to\infty.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =2\pi i\;\mathrm{Res}\bigl(f,\,i\bigr).

Passo 4

O ponto z=i é polo de ordem 2 de f(z)=\frac{e^{iz}}{(z-i)^{2}(z+i)^{2}}.
O resíduo para polo duplo é
\mathrm{Res}\bigl(f,i\bigr) =\lim_{z\to i}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-i)^{2}f(z)\Bigr] =\lim_{z\to i}\frac{d}{dz}\!\Bigl[\frac{e^{iz}}{(z+i)^{2}}\Bigr].
Calculando a derivada:
\frac{d}{dz}\!\Bigl[\tfrac{e^{iz}}{(z+i)^{2}}\Bigr] =\frac{i\,e^{iz}(z+i)^{2}-2(z+i)e^{iz}}{(z+i)^{4}} \;\Longrightarrow\; \mathrm{Res}(f,i) =\frac{-8i\,e^{-1}}{16} =-\frac{i}{2e}.

Passo 5

Substituindo em \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2\pi i\,\mathrm{Res}:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =2\pi i\Bigl(-\frac{i}{2e}\Bigr) =\frac{\pi}{e}.
Tomando a parte real e dividindo por 2, vem
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\Re\Bigl(\tfrac{\pi}{e}\Bigr) =\frac{\pi}{2e}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac{\pi}{2e}.

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