Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede
usando o teorema dos resíduos. A ideia é escrever
como parte imaginária de
, estender a integral ao eixo real completo, completar o quadrado em
e aplicar o teorema dos resíduos para avaliar
depois extrair a parte imaginária.
Passo 2
Note que
então definimos a função meromorfa
Os polos de
são as raízes de
, ou seja
Apenas
está no semiplano superior.
Passo 3
Vamos calcular
por duas vias. Primeiro, usando mudança de variável
:
Mas é conhecido que
Logo
Passo 4
Agora aplicamos o teorema dos resíduos. Num contorno semicircular em cima, a contribuição do arco tende a zero (Jordan) e sobra
Calculamos
Portanto
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 5
Ficou então
Tomando parte imaginária em ambos os lados,
Passo 6
Como para
vale
, a integral original é
Pela construção do contorno em meia circunferência no semiplano superior e o decaimento exponencial de
, mostra-se que a parte de
a
não contribui, de modo que essa meia-intregal coincide com a integral de
a
já avaliada.