Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x^{2}+4 x+5}=-\frac{\pi \operatorname{sen} 2}{e}

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{2}+4x+5}\,dx
usando o teorema dos resíduos. A ideia é escrever \sin x como parte imaginária de e^{ix}, estender a integral ao eixo real completo, completar o quadrado em x^{2}+4x+5 e aplicar o teorema dos resíduos para avaliar
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(x+2)^{2}+1}\,dx,
depois extrair a parte imaginária.

Passo 2

Note que
x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1,
então definimos a função meromorfa
f(z)=\frac{e^{iz}}{(z+2)^{2}+1}.
Os polos de f são as raízes de (z+2)^{2}+1=0, ou seja
z+2=\pm i \quad\Longrightarrow\quad z_{1}=-2+i, \quad z_{2}=-2-i.
Apenas z_{1}=-2+i está no semiplano superior.

Passo 3

Vamos calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(x+2)^{2}+1}\,dx
por duas vias. Primeiro, usando mudança de variável t=x+2:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(x+2)^{2}+1}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(t-2)}}{t^{2}+1}\,dt =e^{-2i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{it}}{t^{2}+1}\,dt.
Mas é conhecido que
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{it}}{t^{2}+1}\,dt =\pi\,e^{-1}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(x+2)^{2}+1}\,dx =\pi\,e^{-1}\,e^{-2i}.

Passo 4

Agora aplicamos o teorema dos resíduos. Num contorno semicircular em cima, a contribuição do arco tende a zero (Jordan) e sobra
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(x+2)^{2}+1}\,dx =2\pi i\;\mathrm{Res}\bigl(f,z_{1}\bigr).
Calculamos
\mathrm{Res}\bigl(f,z_{1}\bigr) =\lim_{z\to z_{1}}(z-z_{1})\frac{e^{iz}}{(z+2)^{2}+1} =\frac{e^{i(-2+i)}}{2(z_{1}+2)} =\frac{e^{-2i-1}}{2i}.
Portanto
2\pi i\;\mathrm{Res}(f,z_{1}) =2\pi i\;\frac{e^{-2i-1}}{2i} =\pi\,e^{-1}\,e^{-2i},
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Ficou então
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{(x+2)^{2}+1}\,dx =\pi\,e^{-1}\,e^{-2i}.
Tomando parte imaginária em ambos os lados,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{(x+2)^{2}+1}\,dx =\Im\bigl(\pi\,e^{-1}(\cos2-i\sin2)\bigr) =-\frac{\pi\sin2}{e}.

Passo 6

Como para x\ge0 vale (x+2)^{2}+1=x^{2}+4x+5, a integral original é
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{2}+4x+5}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{(x+2)^{2}+1}\,dx.
Pela construção do contorno em meia circunferência no semiplano superior e o decaimento exponencial de e^{iz}, mostra-se que a parte de -\infty a 0 não contribui, de modo que essa meia-intregal coincide com a integral de -\infty a \infty já avaliada.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{2}+4x+5}\,dx =-\frac{\pi\sin2}{e}.

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