Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe
em ponto algum se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe
em ponto algum, onde a função é
Informações dadas:
- A função está definida para todo
. - É preciso usar o teorema da Seção 21 (que trata das equações de Cauchy–Riemann como condição necessária de diferenciabilidade).
O objetivo final é concluir quenão é complexamente diferenciável em nenhum ponto do plano complexo.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em coordenadas reais: seja
com
. Então
. Portanto
Escrevendo
na forma
obtemos explicitamente as partes real e imaginária:
Passo 3
Agora vou enunciar claramente o teorema que vamos usar (forma necessária).
Teorema (Seção 21, versão utilizada): se é complexamente diferenciável num ponto
e as derivadas parciais
existem numa vizinhança de
e são contínuas nesse ponto, então as equações de Cauchy–Riemann valem em
:
Teorema (Seção 21, versão utilizada): se
Explicação rápida do que significam essas derivadas:
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo), etc. O teorema dá uma condição necessária: se as parciais são contínuas e
é diferenciável então as duas igualdades acima devem ocorrer.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
e
. Como
(identicamente), temos
para todo
. Como
, temos
para todo
.
Observação: essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo (são constantes).
Observação: essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo
Passo 5
Aplique as equações de Cauchy–Riemann usando os valores encontrados. A primeira equação exige
Mas aqui isso seria
o que é falso. Portanto a condição necessária não é satisfeita em nenhum ponto
. Como as derivadas parciais são contínuas em todo lugar, o teorema nos diz que, se
fosse diferenciável em algum ponto, as equações de Cauchy–Riemann deveriam ser válidas nesse ponto — o que não acontece. Logo
não é diferenciável em nenhum ponto do plano.
Passo 6
Resumo didático e uma intuição rápida:
depende apenas da coordenada
e é puramente imaginária. No cálculo de derivada complexa é preciso compatibilidade entre as variações em
e em
expressa pelas equações de Cauchy–Riemann; aqui essa compatibilidade falha (a variação imag. em relação a
é
, enquanto a variação real em relação a
é
), por isso não existe derivada complexa em nenhum ponto. Força final: a hipótese de continuidade das parciais é satisfeita, então a violação das equações é definitiva.
Resposta
Não existe
em ponto algum.