Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe f^{\prime}(z) em ponto algum se
f(z)=z-\bar{z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe f'(z) em ponto algum, onde a função é
f(z)=z-\overline{z}.
Informações dadas:
  • A função está definida para todo z\in\mathbb{C}.
  • É preciso usar o teorema da Seção 21 (que trata das equações de Cauchy–Riemann como condição necessária de diferenciabilidade).
    O objetivo final é concluir que f não é complexamente diferenciável em nenhum ponto do plano complexo.

Passo 2

Primeiro vamos escrever f em coordenadas reais: seja z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Então \overline{z}=x-iy. Portanto
f(z)=z-\overline{z}=(x+iy)-(x-iy)=2iy.
Escrevendo f na forma f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) obtemos explicitamente as partes real e imaginária:
u(x,y)=0,\qquad v(x,y)=2y.

Passo 3

Agora vou enunciar claramente o teorema que vamos usar (forma necessária).
Teorema (Seção 21, versão utilizada): se f=u+iv é complexamente diferenciável num ponto (x_0,y_0) e as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existem numa vizinhança de (x_0,y_0) e são contínuas nesse ponto, então as equações de Cauchy–Riemann valem em (x_0,y_0):
u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0), \qquad u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0).
Explicação rápida do que significam essas derivadas: u_x é a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo), etc. O teorema dá uma condição necessária: se as parciais são contínuas e f é diferenciável então as duas igualdades acima devem ocorrer.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de u e v. Como u(x,y)=0 (identicamente), temos
u_x(x,y)=0,\qquad u_y(x,y)=0
para todo (x,y). Como v(x,y)=2y, temos
v_x(x,y)=0,\qquad v_y(x,y)=2
para todo (x,y).
Observação: essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2 (são constantes).

Passo 5

Aplique as equações de Cauchy–Riemann usando os valores encontrados. A primeira equação exige
u_x(x,y)=v_y(x,y).
Mas aqui isso seria
0 = 2,
o que é falso. Portanto a condição necessária não é satisfeita em nenhum ponto (x,y). Como as derivadas parciais são contínuas em todo lugar, o teorema nos diz que, se f fosse diferenciável em algum ponto, as equações de Cauchy–Riemann deveriam ser válidas nesse ponto — o que não acontece. Logo f não é diferenciável em nenhum ponto do plano.

Passo 6

Resumo didático e uma intuição rápida: f(z)=2iy depende apenas da coordenada y e é puramente imaginária. No cálculo de derivada complexa é preciso compatibilidade entre as variações em x e em y expressa pelas equações de Cauchy–Riemann; aqui essa compatibilidade falha (a variação imag. em relação a y é 2, enquanto a variação real em relação a x é 0), por isso não existe derivada complexa em nenhum ponto. Força final: a hipótese de continuidade das parciais é satisfeita, então a violação das equações é definitiva.

Resposta

Não existe f'(z) em ponto algum.

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