Descreva o dominio subentendido de cada uma das funções dadas a seguir.
J(t)=\frac{1}{z^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede: “Descreva o domínio subentendido de cada uma das funções dadas a seguir.” Foi dada uma função escrita como J(t)=\frac{1}{z^{2}+1}. Informações relevantes:
  • O rótulo da função é J(t), ou seja o argumento aparece como t.
  • A expressão matemática usa a variável z: \dfrac{1}{z^{2}+1}.
  • A tarefa é indicar o domínio subentendido (os valores que podem ser inseridos como entrada sem causar problema na expressão).

Passo 2

O que significa “domínio subentendido” e como eu determino isso numa expressão racional como \dfrac{1}{z^{2}+1}?
  • Domínio subentendido = conjunto padrão de valores para os quais a expressão faz sentido, normalmente:
    • \mathbb{R} (números reais) se nada indicar que estamos trabalhando com complexos;
    • \mathbb{C} (números complexos) se o contexto for análise complexa.
  • Regra prática para frações/racionais: uma expressão do tipo \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} exige que o denominador seja diferente de zero. Logo, identificar o domínio passa por impor \text{denominador} \neq 0.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: o denominador é z^{2}+1. Então devemos resolver a condição de proibição
z^{2}+1=0.
Resolver essa equação diz quais valores estão proibidos no domínio (pois anulariam o denominador).

Passo 4

Resolver z^{2}+1=0:
z^{2} = -1.
As soluções dessa equação são
z = i \quad\text{e}\quad z = -i,
pois i é o número complexo com i^{2}=-1. Se estivermos admitindo números complexos, esses dois valores anulam o denominador; se estivermos apenas com números reais, observe que i e -i NÃO são reais, então não pertencem a \mathbb{R}.

Passo 5

Concluir os domínios subentendidos dependendo da interpretação (lembre-se: o enunciado trocou o símbolo do argumento, mas isso não altera a análise; basta interpretar a variável como real ou complexa):
  • Interpretação em números reais: nenhum número real anula z^{2}+1 porque z^{2}\ge 0 para z\in\mathbb{R}, então z^{2}+1\ge 1. Portanto o denominador nunca é zero para z\in\mathbb{R}.
  • Interpretação em números complexos: os únicos pontos a excluir são z=\pm i.

Passo 6

Dica prática para a prova (rápida e útil):
  • Sempre cheque operações proibidas: divisão (denominador ≠ 0), raízes pares (argumento \ge 0 se estiver restrito a reais), logaritmos (argumento >0), etc.
  • Se o enunciado usa um símbolo de argumento diferente da expressão (aqui t vs z), troque mentalmente para um símbolo só antes de aplicar as regras (por exemplo trate a função como J(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}) — a análise do domínio é a mesma.

Resposta

Domínio (variável real): \mathbb{R}
Domínio (variável complexa): \mathbb{C}\setminus\{\,i,\,-i\,\}

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