Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe f^{\prime}(z) em ponto algum se
f(z)=e^{x} e^{-i y}.

Passo 1

O enunciado define
f(z)=e^{x}e^{-i y}
com z=x+iy, e pede para mostrar que não existe f^{\prime}(z) em ponto algum. O conteúdo da Seção 21 é o Teorema de Cauchy–Riemann: se f=u(x,y)+i\,v(x,y) é diferenciável num ponto e as derivadas parciais são contínuas, então elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto.

Passo 2

Escrevemos
u(x,y)=e^{x}\cos y, \quad v(x,y)=-\,e^{x}\sin y.
Agora calculamos as derivadas parciais:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x} \bigl(e^{x}\cos y\bigr)=e^{x}\cos y, \quad u_{y}=\frac{\partial}{\partial y} \bigl(e^{x}\cos y\bigr)=-\,e^{x}\sin y,
v_{x}=\frac{\partial}{\partial x} \bigl(-e^{x}\sin y\bigr)=-\,e^{x}\sin y, \quad v_{y}=\frac{\partial}{\partial y} \bigl(-e^{x}\sin y\bigr)=-\,e^{x}\cos y.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_{x}=v_{y}, \quad u_{y}=-\,v_{x}.
Substituindo as derivadas:
  1. u_{x}=v_{y}
e^{x}\cos y = -\,e^{x}\cos y \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\cos y=0.
  1. u_{y}=-\,v_{x}
-\,e^{x}\sin y = -\bigl(-e^{x}\sin y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{x}\sin y = e^{x}\sin y \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\sin y=0.

Passo 4

Como e^{x}>0 para todo x, as duas condições reduzem-se a
\cos y=0 \quad\text{e}\quad \sin y=0.
Não há valor de y real que satisfaça simultaneamente \cos y=0 e \sin y=0. Logo, não existem pontos (x,y) onde as equações de Cauchy–Riemann sejam cumpridas.

Passo 5

Pelo Teorema da Seção 21, se f fosse diferenciável num ponto, as equações de Cauchy–Riemann deveriam valer ali. Como vimos, elas não valem em nenhum ponto do plano, isto é, f não é diferenciável em ponto algum.

Resposta

f^{\prime}(z) não existe em ponto algum.

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