Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe
em ponto algum se
.
Passo 1
O enunciado define
com
, e pede para mostrar que não existe
em ponto algum. O conteúdo da Seção 21 é o Teorema de Cauchy–Riemann: se
é diferenciável num ponto e as derivadas parciais são contínuas, então elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto.
Passo 2
Escrevemos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo as derivadas:
-
dá
-
dá
Passo 4
Como
para todo
, as duas condições reduzem-se a
Não há valor de
real que satisfaça simultaneamente
e
. Logo, não existem pontos
onde as equações de Cauchy–Riemann sejam cumpridas.
Passo 5
Pelo Teorema da Seção 21, se
fosse diferenciável num ponto, as equações de Cauchy–Riemann deveriam valer ali. Como vimos, elas não valem em nenhum ponto do plano, isto é,
não é diferenciável em ponto algum.