Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe
em ponto algum se
;
Passo 1
O enunciado define a função
onde
. Queremos mostrar que não existe
em ponto algum. Pela Seção 21 (condições necessárias de Cauchy–Riemann), se
fosse diferenciável em algum ponto, suas derivadas parciais decompostas em
teriam de existir e satisfazer as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
As condições de Cauchy–Riemann são
Substituindo,
Passo 4
O sistema
não tem solução em nenhum
real. Logo, as equações de Cauchy–Riemann não se satisfazem em ponto algum, o que implica que
não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo.
Resposta
Não existe
em ponto algum.