Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe f^{\prime}(z) em ponto algum se
f(z)=2 x+i x y^{2};

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=2x + i\,x y^2,
onde z=x+iy. Queremos mostrar que não existe \,f'(z) em ponto algum. Pela Seção 21 (condições necessárias de Cauchy–Riemann), se f fosse diferenciável em algum ponto, suas derivadas parciais decompostas em
u(x,y)=2x, \quad v(x,y)=x y^2
teriam de existir e satisfazer as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(2x)=2, \quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(x y^2)=y^2, \quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}(x y^2)=2xy.

Passo 3

As condições de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Substituindo,
2 = 2xy \quad\Longrightarrow\quad xy=1,
0 = -\,y^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.

Passo 4

O sistema
xy=1, \quad y=0
não tem solução em nenhum (x,y) real. Logo, as equações de Cauchy–Riemann não se satisfazem em ponto algum, o que implica que f não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo.

Resposta

Não existe \,f'(z) em ponto algum.

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