Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti horário quando vista de cima. F(x, y, z)=y z \vec{i}+2 x z \vec{j}+e^{x z} \vec{k}, C é a circunferência x^{2}+y^{2}=16, z=5; Passo 1O enunciado pede para calcular \oint_{C} F \cdot d\mathbf{r} onde F(x,y,z) = yz\,\mathbf{i} + 2xz\,\mathbf{j} + e^{xz}\,\mathbf{k} e C é a circunferência x^2 + y^2 = 16 no plano z = 5, orientada no sentido anti-horário vista de cima. O conteúdo é o Teorema de Stokes, que diz que \oint_{C} F \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot \mathbf{n} \, dS, onde S é uma superfície com fronteira C. Passo 2Escolhemos S como o disco x^2 + y^2 \le 16 em z = 5. A orientação de C (anti-horário visto de cima) corresponde à normal unitária \mathbf{n} = (0,0,1) apontando para cima. Passo 3Calculamos o rotacional \nabla\times F =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ yz & 2xz & e^{xz} \end{vmatrix} Isto dá \nabla\times F =\bigl(\partial_y e^{xz}-\partial_z(2xz),\;\partial_z(yz)-\partial_x e^{xz},\;\partial_x(2xz)-\partial_y(yz)\bigr) =(-2x,\;y - z\,e^{xz},\;z). Passo 4No plano z=5 temos (\nabla\times F)\cdot\mathbf n = (-2x,\;y - z\,e^{xz},\;z)\cdot(0,0,1) = z = 5. Passo 5Como o integrando é constante, \iint_{S}5\,dS =5\;\bigl(\text{área do disco de raio }4\bigr) =5\cdot\pi\cdot4^2 =80\pi.á Resposta \oint_{C}F\cdot d\mathbf r = 80\pi. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Determine o fluxo de F(x, y, z)=\sin (x y z) \vec{i}+x^{2} y \vec{j}+z^{2} e^{x / 5} \vec{k} Determine o fluxo de F(x, y, z)=\sin (x y z) \vec{i}+x^{2} y \vec{j}+z^{2} e^{x / 5} \vec{k} Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti horário quando vista de cima. F(x, y, z)=y z \vec{i}+2 x z \vec{j}+e^{x z} \vec{k}, C é a circunferência x^{2}+y^{2}=16, z=5; Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti horário quando vista de cima. F(x, y, z)=y z \vec{i}+2 x z \vec{j}+e^{x z} \vec{k}, C é a circunferência x^{2}+y^{2}=16, z=5;