Use o teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r, onde
Exercício 63. F(x, y, z)=(y, z, x) e C é a curva obtida como interseção do plano x+y=2 com esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+y), orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano x z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C} F\cdot d r, onde F(x,y,z)=(y,z,x) e C é a curva de interseção entre o plano x+y=2 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+y). A curva C é orientada de modo que, ao projetá-la sobre o plano xz, o sentido seja horário. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{plano: } x+y=2,
\text{esfera: } x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+y).
Não há pedido de método alternativo: o enunciado exige usar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha numa integral de superfície. Enunciado do Teorema de Stokes (versão usada aqui):
\displaystyle\int_{C} F\cdot d r \;=\; \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície orientada cuja fronteira \partial S seja C, e \mathbf{n} é o vetor normal unitário de S compatível com a orientação de C (regra da mão direita). Plano escolhido: a própria seção do plano x+y=2 limitada pela interseção com a esfera — isto é, a região circular no plano cujo contorno é C. Vantagem: superfície plana facilita o cálculo do fluxo de um campo constante (ou simples).

Passo 3

Calculo o rotacional (curl) de F. Para F=(F_x,F_y,F_z)=(y,z,x),
\nabla\times F = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right).
Agora derivadas:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial z}=1,
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}=1.
Portanto
\nabla\times F = (-1,-1,-1) = - (1,1,1).
Observação didática: o rotacional mede a tendência de rotação local do campo; aqui é um vetor constante, o que simplifica bastante a integral de superfície.

Passo 4

Determino a geometria da interseção para calcular a área de S. Reescrevo a equação da esfera completando quadrados:
x^{2}-2x+y^{2}-2y+z^{2}=0
\Rightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=2.
Logo a esfera tem centro em (1,1,0) e raio r_{\text{esf}}=\sqrt{2}. Verifico se o plano passa pelo centro: substituo (1,1,0) em x+y=2; como 1+1=2, o centro está no plano. Quando a superfície do plano passa pelo centro da esfera, a interseção é um círculo cujo raio é igual ao raio da esfera. Portanto a região S é um disco plano de raio
r=\sqrt{2},
e sua área é
\text{Area}(S)=\pi r^{2}=\pi\cdot(\sqrt{2})^{2}=2\pi.
Dica prática: sempre verifique se o plano contém o centro da esfera — isso torna a interseção um círculo de raio igual ao raio da esfera.

Passo 5

Calculo o vetor normal unitário do plano x+y=2. Um vetor normal ao plano é \mathbf{n}_0=(1,1,0). O versor (unitário) correspondente é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{(1,1,0)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\frac{(1,1,0)}{\sqrt{2}}.
Agora preciso escolher o sinal correto de \hat{\mathbf{n}} de acordo com a orientação de C. A regra da mão direita diz: se \hat{\mathbf{n}} aponta para você, a circulação orientada induzida em C é no sentido anti-horário vista de quem está no sentido de \hat{\mathbf{n}}. O enunciado diz que C é orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano xz. Projetar sobre xz corresponde a olhar na direção do eixo y (ou seja, ver as coordenadas (x,z)); o sentido horário na projeção é o sentido horário visto de quem olha a partir do lado de y positivo. Portanto, como a curva aparece horário vista do lado +y, a normal cujo “topo” veria a curva anti-horária deve apontar para o lado -y. Conclusão: o versor normal compatível com a orientação dada é o oposto de \hat{\mathbf{n}}, isto é
\mathbf{n} = -\frac{(1,1,0)}{\sqrt{2}} = \frac{(-1,-1,0)}{\sqrt{2}}.
Explicação curta: a orientação dada (horário ao projetar em xz) corresponde a uma normal com componente em y negativa.

Passo 6

Avalio o produto escalar (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n} e integro sobre S. Como \nabla\times F é constante, o integrando é constante:
(\nabla\times F)\cdot \mathbf{n} = (-1,-1,-1)\cdot \frac{(-1,-1,0)}{\sqrt{2}} = \frac{1+1+0}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Assim a integral de superfície é simplesmente esse valor vezes a área do disco:
\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS = \sqrt{2}\cdot \text{Area}(S) = \sqrt{2}\cdot 2\pi = 2\sqrt{2}\,\pi.
Pelo Teorema de Stokes segue que
\displaystyle\int_{C} F\cdot d r = 2\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

2\sqrt{2}\pi

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