Use o teorema de Stokes para calcular
, onde
Exercício 63.
e
é a curva obtida como interseção do plano
com esfera
, orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano
.
Exercício 63.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
e
é a curva de interseção entre o plano
e a esfera
. A curva
é orientada de modo que, ao projetá-la sobre o plano
, o sentido seja horário. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há pedido de método alternativo: o enunciado exige usar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha numa integral de superfície. Enunciado do Teorema de Stokes (versão usada aqui):
onde
é qualquer superfície orientada cuja fronteira
seja
, e
é o vetor normal unitário de
compatível com a orientação de
(regra da mão direita). Plano escolhido: a própria seção do plano
limitada pela interseção com a esfera — isto é, a região circular no plano cujo contorno é
. Vantagem: superfície plana facilita o cálculo do fluxo de um campo constante (ou simples).
Passo 3
Calculo o rotacional (curl) de
. Para
,
Agora derivadas:
Portanto
Observação didática: o rotacional mede a tendência de rotação local do campo; aqui é um vetor constante, o que simplifica bastante a integral de superfície.
Passo 4
Determino a geometria da interseção para calcular a área de
. Reescrevo a equação da esfera completando quadrados:
Logo a esfera tem centro em
e raio
. Verifico se o plano passa pelo centro: substituo
em
; como
, o centro está no plano. Quando a superfície do plano passa pelo centro da esfera, a interseção é um círculo cujo raio é igual ao raio da esfera. Portanto a região
é um disco plano de raio
e sua área é
Dica prática: sempre verifique se o plano contém o centro da esfera — isso torna a interseção um círculo de raio igual ao raio da esfera.
Passo 5
Calculo o vetor normal unitário do plano
. Um vetor normal ao plano é
. O versor (unitário) correspondente é
Agora preciso escolher o sinal correto de
de acordo com a orientação de
. A regra da mão direita diz: se
aponta para você, a circulação orientada induzida em
é no sentido anti-horário vista de quem está no sentido de
. O enunciado diz que
é orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano
. Projetar sobre
corresponde a olhar na direção do eixo
(ou seja, ver as coordenadas
); o sentido horário na projeção é o sentido horário visto de quem olha a partir do lado de
positivo. Portanto, como a curva aparece horário vista do lado
, a normal cujo “topo” veria a curva anti-horária deve apontar para o lado
. Conclusão: o versor normal compatível com a orientação dada é o oposto de
, isto é
Explicação curta: a orientação dada (horário ao projetar em
) corresponde a uma normal com componente em
negativa.
Passo 6
Avalio o produto escalar
e integro sobre
. Como
é constante, o integrando é constante:
Assim a integral de superfície é simplesmente esse valor vezes a área do disco:
Pelo Teorema de Stokes segue que