Exercício 57. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(y, z, x z) e S é a superfície do sólido W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq z \leq 1\right\}, com vetor normal n apontando para o exterior.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular a integral de fluxo \iint_{S} (F\cdot n)\,dS, onde S é a superfície do sólido W e n é o vetor normal apontando para o exterior.
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=\bigl(y,\;z,\;x z\bigr).
  • O sólido W é dado por \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}\le z \le 1\right\}. Ou seja, o sólido fica entre a parábola (paraboloide) z=x^{2}+y^{2} por baixo e o plano z=1 por cima, e inclui a superfície lateral fechando o volume — portanto S é uma superfície fechada e orientada para fora.
  • Normal apontando para o exterior: queremos o fluxo total saindo do volume W.

Passo 2

Escolha do método (explicando o porquê): como S é a superfície de um sólido fechado e bem comportado, a maneira mais prática é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Esse teorema transforma a integral de fluxo sobre a superfície fechada numa integral tripla do divergente do campo sobre o volume interior — normalmente isso simplifica muito o cálculo. Vou aplicar esse teorema porque evita ter que parametrizar separadamente o paraboloide e o disco no plano z=1.
Breve aula sobre o Teorema da Divergência:
\text{Se }S=\partial W\text{ é a borda lisa de um sólido }W\text{ e }F\text{ é suficientemente suave, então}éóéã
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS = \iiint_{W} (\nabla\cdot F)\,dV.
Aqui \nabla\cdot F é o divergente de F, definido como a soma das derivadas parciais das componentes de F: se F=(F_1,F_2,F_3) então \nabla\cdot F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}. O divergente mede, em cada ponto, a “taxa de saída” local do campo — por isso a soma sobre o volume dá o fluxo total pela superfície.

Passo 3

Calcular o divergente de F.
  • As componentes de F são F_1(x,y,z)=y, F_2(x,y,z)=z e F_3(x,y,z)=x z.
  • Então
\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(z) + \frac{\partial}{\partial z}(x z).
  • Derivando termo a termo:
    • \frac{\partial}{\partial x}(y)=0 porque y é tratado como constante quando derivamos em relação a x.
    • \frac{\partial}{\partial y}(z)=0 porque z é tratado como constante quando derivamos em relação a y.
    • \frac{\partial}{\partial z}(x z)=x porque x é constante em relação a z e \frac{\partial}{\partial z}(x z)=x\cdot 1.
  • Portanto
\nabla\cdot F = x.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência: a integral de fluxo vira a integral tripla de x sobre W:
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS = \iiint_{W} x\,dV.
Agora precisamos calcular \iiint_{W} x\,dV. Vou explicar duas maneiras didáticas: (A) argumento de simetria e (B) cálculo direto em coordenadas cilíndricas. Ambas levam à mesma conclusão; mostrar as duas ajuda a entender os princípios.

Passo 5

(A) Argumento de simetria (muito simples e rápido):
  • O sólido W é simétrico em relação ao plano x=0: para cada ponto (x,y,z)\in W existe o ponto (-x,y,z)\in W.
  • A função integrando é x, que é ímpar em x: x muda de sinal quando trocamos x por -x.
  • Em uma região simétrica como W, a integral de uma função ímpar em x é zero, porque contribuições de x>0 e x<0 se cancelam.
  • Logo \displaystyle \iiint_{W} x\,dV = 0.
Se você preferir ver tudo calculado explicitamente, segue o cálculo por coordenadas cilíndricas.

Passo 6

(B) Cálculo em coordenadas cilíndricas (passo a passo):
  • Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
  • A superfície inferior do sólido é z = x^{2}+y^{2} = r^{2} (peguei isso do enunciado: x^{2}+y^{2}\le z), e a superfície superior é z=1 (também do enunciado).
  • Para que r^{2}\le 1 precisamos de 0\le r \le 1. O ângulo \theta percorre todo o círculo: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Assim os limites são 0\le\theta\le 2\pi, 0\le r\le 1, r^{2}\le z\le 1.
  • A integral fica
\iiint_{W} x\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{1} (r\cos\theta)\; r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Juntei x=r\cos\theta e o Jacobiano r para obter o fator r\cdot r = r^{2}.

Passo 7

Executar as integrais internas:
  • Primeiro integrar em z:
\int_{r^{2}}^{1} dz = 1 - r^{2}.
  • A integral reduz para
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cos\theta\,(1-r^{2})\,dr\,d\theta.
  • Separe fatores que dependem de \theta e de r:
\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{1} r^{2}(1-r^{2})\,dr\right).

Passo 8

Calcular a parte em \theta e concluir:
  • A integral do cosseno em um período completo é zero:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0.
  • Como esse fator é zero, todo o produto é zero, logo
\iiint_{W} x\,dV = 0.
  • Isso coincide com o argumento de simetria do Passo 5.

Passo 9

Conclusão final: pelo Teorema da Divergência a integral de fluxo pela superfície fechada S é exatamente \iiint_{W} x\,dV, que acabamos de mostrar ser zero. Portanto o fluxo total de F através de S com normal exterior é zero. Você pode usar a observação de simetria para responder rápido em prova: região simétrica em x + integrando x ímpar → fluxo nulo.

Resposta

0

Exercícios relacionados