Exercício 57. Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido
, com vetor normal
apontando para o exterior.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular a integral de fluxo
, onde é a superfície do sólido e é o vetor normal apontando para o exterior. - O campo vetorial é
. - O sólido
é dado por . Ou seja, o sólido fica entre a parábola (paraboloide) por baixo e o plano por cima, e inclui a superfície lateral fechando o volume — portanto é uma superfície fechada e orientada para fora. - Normal apontando para o exterior: queremos o fluxo total saindo do volume
.
Passo 2
Escolha do método (explicando o porquê): como
é a superfície de um sólido fechado e bem comportado, a maneira mais prática é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Esse teorema transforma a integral de fluxo sobre a superfície fechada numa integral tripla do divergente do campo sobre o volume interior — normalmente isso simplifica muito o cálculo. Vou aplicar esse teorema porque evita ter que parametrizar separadamente o paraboloide e o disco no plano
.
Breve aula sobre o Teorema da Divergência:
Aqui
é o divergente de
, definido como a soma das derivadas parciais das componentes de
: se
então
. O divergente mede, em cada ponto, a “taxa de saída” local do campo — por isso a soma sobre o volume dá o fluxo total pela superfície.
Passo 3
Calcular o divergente de
.
- As componentes de
são , e . - Então
- Derivando termo a termo:
-
porque é tratado como constante quando derivamos em relação a . -
porque é tratado como constante quando derivamos em relação a . -
porque é constante em relação a e .
-
- Portanto
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência: a integral de fluxo vira a integral tripla de
sobre
:
Agora precisamos calcular
. Vou explicar duas maneiras didáticas: (A) argumento de simetria e (B) cálculo direto em coordenadas cilíndricas. Ambas levam à mesma conclusão; mostrar as duas ajuda a entender os princípios.
Passo 5
(A) Argumento de simetria (muito simples e rápido):
- O sólido
é simétrico em relação ao plano : para cada ponto existe o ponto . - A função integrando é
, que é ímpar em : muda de sinal quando trocamos por . - Em uma região simétrica como
, a integral de uma função ímpar em é zero, porque contribuições de e se cancelam. - Logo
.
Se você preferir ver tudo calculado explicitamente, segue o cálculo por coordenadas cilíndricas.
Passo 6
(B) Cálculo em coordenadas cilíndricas (passo a passo):
- Em coordenadas cilíndricas usamos
, , e o elemento de volume é . - A superfície inferior do sólido é
(peguei isso do enunciado: ), e a superfície superior é (também do enunciado). - Para que
precisamos de . O ângulo percorre todo o círculo: . - Assim os limites são
, , . - A integral fica
- Juntei
e o Jacobiano para obter o fator .
Passo 7
Executar as integrais internas:
- Primeiro integrar em
:
- A integral reduz para
- Separe fatores que dependem de
e de :
Passo 8
Calcular a parte em
e concluir:
- A integral do cosseno em um período completo é zero:
- Como esse fator é zero, todo o produto é zero, logo
- Isso coincide com o argumento de simetria do Passo 5.
Passo 9
Conclusão final: pelo Teorema da Divergência a integral de fluxo pela superfície fechada
é exatamente
, que acabamos de mostrar ser zero. Portanto o fluxo total de
através de
com normal exterior é zero. Você pode usar a observação de simetria para responder rápido em prova: região simétrica em
+ integrando
ímpar → fluxo nulo.