Use o Teorema de Stokes para calcular
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}
quando \vec{F}(x, y, z)=\left\langle y z, 2 x y, e^{x} y\right\rangle e C é o círculo x^{2}+y^{2}=16, z=5.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • A campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\langle y z,\;2 x y,\;e^{x}y\rangle.
  • A curva C é o círculo dado por \displaystyle x^{2}+y^{2}=16,\; z=5 (ou seja, raio 4 no plano z=5).
Assumo a orientação positiva usual de contorno: C percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto do eixo positivo z. Essa escolha será usada para relacionar a normal da superfície via a regra da mão direita.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (explicado de forma suave):
\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde:
  • S é qualquer superfície lisa cuja fronteira orientada seja C;
  • \vec{n} é a unidade normal em S escolhida de modo a ser consistente com a orientação de C (regra da mão direita);
  • dS é o elemento de área de S.
Explicação rápida: em vez de calcular a integral de linha ao longo do círculo, podemos calcular uma integral de área do rotacional de \vec{F} sobre um disco cujo contorno é C. Isso costuma ser bem mais simples quando S é um disco plano.

Passo 3

Escolha da superfície S e normal:
  • Tomamos S como o disco plano \{(x,y,5)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.
  • Uma parametrização simples é \displaystyle \vec{r}(x,y)=\langle x,y,5\rangle para (x,y) no disco D:\\ x^{2}+y^{2}\le 16.
  • Para a orientação anti-horária de C vista de cima, a normal escolhida é a normal “para cima”: \displaystyle \vec{n}=\langle 0,0,1\rangle. Para um plano horizontal, dS=dA (elemento de área no plano xy).

Passo 4

Cálculo do rotacional \nabla\times\vec{F} (passo a passo):
Usar a definição por determinante:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] y z & 2 x y & e^{x}y \end{vmatrix}.
Calcule cada componente:
  • Componente x (primeira):
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_x =\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}y)-\frac{\partial}{\partial z}(2xy) = e^{x}-0 = e^{x}.
  • Componente y (segunda):
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_y =\frac{\partial}{\partial z}(y z)-\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}y) = y - e^{x}y = y(1-e^{x}).
  • Componente z (terceira):
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_z =\frac{\partial}{\partial x}(2xy)-\frac{\partial}{\partial y}(y z) =2y - z.
Portanto
\displaystyle \nabla\times\vec{F}=\langle e^{x},\;y(1-e^{x}),\;2y-z\rangle.]

Passo 5

Avaliar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} na superfície S:
  • Como \vec{n}=\langle 0,0,1\rangle, temos (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}= componente z do rotacional.
  • Na superfície S vale z=5. Logo o integrando é
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=2y-z=2y-5.
Pela fórmula de Stokes:
\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{D}(2y-5)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.

Passo 6

Cálculo da integral sobre o disco D:
Separe a integral em duas partes:
\iint_{D}(2y-5)\,dA =2\iint_{D}y\,dA -5\iint_{D}1\,dA.
  • Primeiro termo: 2\iint_{D}y\,dA. Como D é um disco simétrico em relação ao eixo x, a função y é ímpar em relação à reflexão y\mapsto -y. Portanto sua integral sobre o disco é zero:
\iint_{D}y\,dA=0 \quad\Rightarrow\quad 2\iint_{D}y\,dA=0.
  • Segundo termo: -5\iint_{D}1\,dA=-5\cdot\text{Área}(D)Á.
    A área do disco de raio 4 é \pi\cdot 4^{2}=16\pi. Então
-5\cdot\text{Área}(D)=-5\cdot 16\pi = -80\pi.Á
Somando as partes obtemos
\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -80\pi.

Passo 7

Observação sobre orientação: esse valor corresponde à orientação anti-horária de C vista do eixo positivo z (normal para cima). Se a orientação de C fosse a oposta (horária vista de cima), o resultado teria sinal trocado: +80\pi.

Resposta

-80\pi

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