A campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\langle y z,\;2 x y,\;e^{x}y\rangle.
A curva C é o círculo dado por \displaystyle x^{2}+y^{2}=16,\; z=5 (ou seja, raio 4 no plano z=5).
Assumo a orientação positiva usual de contorno: C percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto do eixo positivo z. Essa escolha será usada para relacionar a normal da superfície via a regra da mão direita.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (explicado de forma suave):
S é qualquer superfície lisa cuja fronteira orientada seja C;
\vec{n} é a unidade normal em S escolhida de modo a ser consistente com a orientação de C (regra da mão direita);
dS é o elemento de área de S.
Explicação rápida: em vez de calcular a integral de linha ao longo do círculo, podemos calcular uma integral de área do rotacional de \vec{F} sobre um disco cujo contorno é C. Isso costuma ser bem mais simples quando S é um disco plano.
Passo 3
Escolha da superfície S e normal:
Tomamos S como o disco plano \{(x,y,5)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.
Uma parametrização simples é \displaystyle \vec{r}(x,y)=\langle x,y,5\rangle para (x,y) no disco D:\\ x^{2}+y^{2}\le 16.
Para a orientação anti-horária de C vista de cima, a normal escolhida é a normal “para cima”: \displaystyle \vec{n}=\langle 0,0,1\rangle. Para um plano horizontal, dS=dA (elemento de área no plano xy).
Passo 4
Cálculo do rotacional \nabla\times\vec{F} (passo a passo):
Usar a definição por determinante:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] y z & 2 x y & e^{x}y \end{vmatrix}.
Primeiro termo: 2\iint_{D}y\,dA. Como D é um disco simétrico em relação ao eixo x, a função y é ímpar em relação à reflexão y\mapsto -y. Portanto sua integral sobre o disco é zero:
Observação sobre orientação: esse valor corresponde à orientação anti-horária de C vista do eixo positivo z (normal para cima). Se a orientação de C fosse a oposta (horária vista de cima), o resultado teria sinal trocado: +80\pi.