onde C é o contorno da parte do plano x+2y+z=4 que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), percorrido no sentido anti-horário. Todas as informações relevantes do enunciado são:
e C=\partial S é a borda dessa superfície, com orientação anti-horária (sentido dado no enunciado). O objetivo é calcular a integral de linha ao longo de C.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes. Enunciado do Teorema de Stokes (forma que usaremos):
onde \nabla\times\mathbf{F} é o rotacional (curl) de \mathbf{F} e \mathbf{n}\,dS é o vetor normal orientado à superfície (o produto do vetor normal pela área infinitesimal). A orientação de \mathbf{n} deve ser escolhida de modo que, segundo a regra da mão direita, a orientação positiva de C seja anti-horária quando se vê a curva a partir da ponta do vetor normal escolhido. Ou seja: se eu escolher \mathbf{n} tal que, olhando na direção de \mathbf{n}, o contorno aparente seja percorrido no sentido anti-horário, então posso aplicar a igualdade diretamente.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Usamos a definição em determinante:
Parametrizo a superfície S como o gráfico da variável z em função de x,y. Da equação do plano:
z=4-x-2y.
Tomamos como parâmetro as coordenadas x,y no triângulo do plano xy que projeta S. A região projetada D no plano xy é o triângulo determinado por x\ge0,\;y\ge0 e 4-x-2y\ge0, isto é
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+2y\le4\}.
Os vértices desse triângulo são (0,0), (4,0) e (0,2).
Uma parametrização natural é
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,\,4-x-2y),\qquad (x,y)\in D.
Passo 5
Calculo os vetores tangentes e o vetor normal (produto vetorial):
Observação sobre orientação: esse vetor normal corresponde à escolha de parâmetros (x,y) na ordem dada. Pelo teorema de Stokes, se olharmos na direção de (1,2,1) a borda C aparece orientada anti-horariamente (regra da mão direita aplicada ao par (\mathbf{r}_x,\mathbf{r}_y)). Como o enunciado pede que C seja percorrido anti-horariamente, a escolha \mathbf{n}=\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(1,2,1) é compatível e podemos usar diretamente:
Calculo o produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y). Usando \nabla\times\mathbf{F}=(-1,-2,1) e \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(1,2,1),
Alternativamente, como o integrando é constante, poderia multiplicar -4 pela área do triângulo D, que é \tfrac{1}{2}\cdot4\cdot2=4, obtendo também -4\cdot4=-16.
Passo 8
Pelo Teorema de Stokes, a integral de linha pedida é igual à integral de superfície que calculamos. Portanto