Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
Desafio:
.
Desafio:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que eu: explicite o domínio, localize as raízes, determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (se existirem) e esboce o gráfico — calculando todos os limites necessários.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras figuras ou dados ocultos. A função é a raiz cúbica de um polinômio de grau 3.
Passo 2
Domínio. Aqui é importante lembrar: a raiz cúbica está definida para argumentos positivos, negativos e zero (ao contrário da raiz quadrada). Portanto não há restrição por sinal dentro da raiz cúbica. O polinômio
está definido para todo
. Conclusão:
Passo 3
Localizar as raízes (zeros) da função. Resolvemos
Fatorando:
Logo as soluções são
(com multiplicidade 2) e
. Portanto as raízes (interseções com o eixo
) são:
Passo 4
Derivada primeira — monotonicidade. Vou calcular
passo a passo usando a regra da cadeia e a regra da potência para expoentes fracionários. Seja
e
. Pela regra da cadeia,
Calculando
. Assim
Observações importantes sobre essa expressão:
- O denominador
é sempre não negativo e só é zero quando , isto é, em ou . Portanto não está definida em e (mesmo que a função esteja definida ali). - O sinal de
em pontos onde está definida é o sinal do numerador , pois o denominador é positivo fora de .
Agora fazemos o estudo de sinal de
nas sub-intervalos divididos pelos pontos
e
(zero do numerador) e
(ponto onde derivada não existe):
- Zeros/nulos do numerador:
e . - Pontos problemáticos:
e (denominador zero).
Escolhemos intervalos:
.
Análise de sinal (bastam testes simples):
- Para
: e ⇒ . Denominador . Logo . - Em
: e ⇒ . Denominador . Logo . - Em
: e ⇒ . Denominador . Logo . - Em
: mesmo sinal que em (o denominador continua quando ), então .
Conclusões sobre monotonicidade:
-
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em e em .
Observações sobre os pontos onde
não está definida:
- Em
e a derivada não existe (denominador zero). Isso não impede que esses pontos sejam máximos/mínimos ou pontos com tangente vertical/cúspide; precisamos analisar limites laterais para caracterizá-los (vou fazer isso nos passos seguintes).
Passo 5
Extremos locais. Usando o teste dos sinais de
:
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica que é um ponto de máximo local. Valor . Então há um máximo local em . - Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), portanto é um mínimo local. Calculamos o valor:
Portanto mínimo local em
.
Passo 6
Comportamento em
e
(tangentes verticais / cúspide). Vou analisar os limites das derivadas e também o comportamento da função:
Comportamento perto de
. Podemos reescrever a função para ver o perfil:
Para
temos
, de modo que, para
pequeno,
Isto mostra que
é maior que os valores próximos (que são negativos), logo um máximo local. Sobre a derivada: usando a fórmula de
e aproximando os termos próximos a
, encontra-se que
Assim em
há uma cúspide vertical: a tangente é vertical com sinais de inclinação opostos nos dois lados, formando um ponto com “ponta” (não é uma tangente horizontal nem inclinação finita).
Comportamento perto de
. Avaliamos a derivada próxima a
: o numerador
tende a
quando
, enquanto o denominador
. Portanto
Ambos os lados vão para
, isto é, a inclinação cresce sem limite positivamente. Como
e a função é crescente tanto imediatamente antes quanto imediatamente depois de
, temos uma tangente vertical em
(vertical tangent), mas agora com a mesma direção (slope +∞) em ambos os lados. Não é um extremo — é um ponto de inflexão (veremos na sequência) com tangente vertical.
Passo 7
Derivada segunda — concavidade. Vou calcular
de forma organizada, usando a expressão
. Faço a derivada por produto e cadeia:
Defina
e
. Então
. Aplicando
e calculando
e
:
Substituindo e simplificando cuidadosamente (vou pular apenas passos algébricos longos, mas mostro a simplificação essencial), obtemos a forma compacta:
Para verificar rápido a consistência: o numerador tem
(sempre
) e o sinal global é negativo multiplicado por
. Como
, a parte que determina o sinal é o fator
(porque
para
). Para fins práticos e de sinal, uma forma útil é:
válida para
.
Passo 8
Sinal de
— concavidade e pontos de inflexão. Como
, note que
para todo
(é uma potência de ordem par no numerador) e o sinal principal vem do fator
e do fator
, cujo sinal é o mesmo de
(porque o expoente
tem numerador ímpar). Assim
Portanto:
- Para
(ou seja ), temos : ⇒ concavidade para cima. - Para
, : ⇒ concavidade para baixo.
Pontos onde
não está definida:
e
. Mas para mudança de concavidade precisamos ver onde o sinal de
troca. Observamos que ao atravessar
a concavidade muda de cima (para
) para baixo (para
). Assim
é um ponto de inflexão da curva (a função é definida em
,
, e a concavidade muda de sinal apesar de
não existir aí). Já
não é ponto de inflexão porque a concavidade é para cima em ambos os lados de
(visto que ambos lados têm
), mesmo que
esteja indefinida em
.
Conclusão:
- Concavidade para cima em
. - Concavidade para baixo em
. - Ponto de inflexão em
.
Passo 9
Assíntotas e limites no infinito. Para procurar assíntotas oblíquas, escrevo
pois
e
(a raiz cúbica de
é
preservando o sinal). Para
aplico a expansão binomial para potência frac.
para
. Aqui
. Então
Isto mostra que
Portanto a reta oblíqua
é assíntota oblíqua tanto para
quanto para
. Não há assíntotas verticais porque a função é finita para todo
. Em
e
a derivada explode, mas a função tem valor finito (não diverge), logo não são assíntotas verticais, e sim tangentes verticais/cúspide.
Passo 10
Limites necessários e resumo de comportamento local (pontos notáveis):
- Valores em pontos-chave:
- Limites das derivadas em pontos singulares (confirmando tangentes verticais/cúspide):
(cúspide com máximo local em
);
(tangente vertical em
, com inclinação
em ambos os lados).
- Limite ao infinito e assíntota:
logo assíntota oblíqua
.
Passo 11
Esboço do gráfico — descrição para desenhar à mão rapidamente (coleção das características essenciais):
- Domínio todo
. - Interseções com
: (máximo local cúspide) e (zero com tangente vertical e ponto de inflexão). - Mínimo local em
com . - Cresce em
; desce em ; cresce em (com um “salto” na derivada em que é vertical, mas a função continua crescente). - Concavidade: curva é côncava para cima até
(exceto que em há a cúspide), e côncava para baixo para . - Assíntota oblíqua
para ambas as extremidades; ao se afastar da origem a curva aproxima-se dessa reta por cima/por baixo conforme o sinal de . - Pontos especiais notados: cúspide / máximo local em
; mínimo em ; inflexão em com tangente vertical; comportamento linear dominando para grandes, aproximando .