Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
Desafio: y=\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
y=\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}},
que eu: explicite o domínio, localize as raízes, determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (se existirem) e esboce o gráfico — calculando todos os limites necessários.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
y(x)=\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}=(x^{3}-x^{2})^{1/3}.
Não há outras figuras ou dados ocultos. A função é a raiz cúbica de um polinômio de grau 3.

Passo 2

Domínio. Aqui é importante lembrar: a raiz cúbica está definida para argumentos positivos, negativos e zero (ao contrário da raiz quadrada). Portanto não há restrição por sinal dentro da raiz cúbica. O polinômio x^{3}-x^{2} está definido para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão:
\text{domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Localizar as raízes (zeros) da função. Resolvemos
\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}=0 \iff x^{3}-x^{2}=0.
Fatorando:
x^{2}(x-1)=0.
Logo as soluções são x=0 (com multiplicidade 2) e x=1. Portanto as raízes (interseções com o eixo x) são:
(0,0)\quad\text{e}\quad(1,0).

Passo 4

Derivada primeira — monotonicidade. Vou calcular y' passo a passo usando a regra da cadeia e a regra da potência para expoentes fracionários. Seja g(x)=x^{3}-x^{2} e y(x)=g(x)^{1/3}. Pela regra da cadeia,
y'=\tfrac{1}{3}g(x)^{-2/3}\,g'(x).
Calculando g'(x)=3x^{2}-2x. Assim
y'=\frac{3x^{2}-2x}{3\,(x^{3}-x^{2})^{2/3}}.
Observações importantes sobre essa expressão:
  • O denominador (x^{3}-x^{2})^{2/3} é sempre não negativo e só é zero quando x^{3}-x^{2}=0, isto é, em x=0 ou x=1. Portanto y' não está definida em x=0 e x=1 (mesmo que a função esteja definida ali).
  • O sinal de y' em pontos onde está definida é o sinal do numerador 3x^{2}-2x=x(3x-2), pois o denominador é positivo fora de x=0,1.
Agora fazemos o estudo de sinal de y' nas sub-intervalos divididos pelos pontos 0 e 2/3 (zero do numerador) e 1 (ponto onde derivada não existe):
  • Zeros/nulos do numerador: x=0 e x=\tfrac{2}{3}.
  • Pontos problemáticos: x=0 e x=1 (denominador zero).
Escolhemos intervalos: (-\infty,0),\;(0,\tfrac{2}{3}),\;(\tfrac{2}{3},1),\;(1,\infty).
Análise de sinal (bastam testes simples):
  • Para x<0: x<0 e 3x-2<0 x(3x-2)>0. Denominador >0. Logo y'>0.
  • Em (0,\tfrac{2}{3}): x>0 e 3x-2<0 x(3x-2)<0. Denominador >0. Logo y'<0.
  • Em (\tfrac{2}{3},1): x>0 e 3x-2>0 x(3x-2)>0. Denominador >0. Logo y'>0.
  • Em (1,\infty): mesmo sinal que em (\tfrac{2}{3},1) (o denominador continua >0 quando x\neq1), então y'>0.
Conclusões sobre monotonicidade:
  • y é crescente em (-\infty,0).
  • y é decrescente em (0,\tfrac{2}{3}).
  • y é crescente em (\tfrac{2}{3},1) e em (1,\infty).
Observações sobre os pontos onde y' não está definida:
  • Em x=0 e x=1 a derivada não existe (denominador zero). Isso não impede que esses pontos sejam máximos/mínimos ou pontos com tangente vertical/cúspide; precisamos analisar limites laterais para caracterizá-los (vou fazer isso nos passos seguintes).

Passo 5

Extremos locais. Usando o teste dos sinais de y':
  • Em x=0: y' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica que x=0 é um ponto de máximo local. Valor y(0)=0. Então há um máximo local em (0,0).
  • Em x=\tfrac{2}{3}: y' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), portanto x=\tfrac{2}{3} é um mínimo local. Calculamos o valor:
y\!\Big(\tfrac{2}{3}\Big)=\sqrt[3]{\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^{3}-\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^{2}} =\sqrt[3]{\tfrac{8}{27}-\tfrac{4}{9}}=\sqrt[3]{-\tfrac{4}{27}}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{3}.
Portanto mínimo local em \Big(\tfrac{2}{3},-\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\Big).

Passo 6

Comportamento em x=0 e x=1 (tangentes verticais / cúspide). Vou analisar os limites das derivadas e também o comportamento da função:
Comportamento perto de x=0. Podemos reescrever a função para ver o perfil:
y=(x^{3}-x^{2})^{1/3}=(x^{2}(x-1))^{1/3}=(x^{2})^{1/3}(x-1)^{1/3}=|x|^{2/3}(x-1)^{1/3}.
Para x\to0 temos (x-1)^{1/3}\to(-1)^{1/3}=-1, de modo que, para x pequeno,
y\sim -|x|^{2/3}.
Isto mostra que y(0)=0 é maior que os valores próximos (que são negativos), logo um máximo local. Sobre a derivada: usando a fórmula de y' e aproximando os termos próximos a 0, encontra-se que
\lim_{x\to0^-}y'(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^+}y'(x)=-\infty.
Assim em x=0 há uma cúspide vertical: a tangente é vertical com sinais de inclinação opostos nos dois lados, formando um ponto com “ponta” (não é uma tangente horizontal nem inclinação finita).
Comportamento perto de x=1. Avaliamos a derivada próxima a 1: o numerador 3x^{2}-2x tende a 1 quando x\to1, enquanto o denominador (x^{3}-x^{2})^{2/3}\to 0^{+}. Portanto
\lim_{x\to1^-}y'(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}y'(x)=+\infty.
Ambos os lados vão para +\infty, isto é, a inclinação cresce sem limite positivamente. Como y(1)=0 e a função é crescente tanto imediatamente antes quanto imediatamente depois de x=1, temos uma tangente vertical em x=1 (vertical tangent), mas agora com a mesma direção (slope +∞) em ambos os lados. Não é um extremo — é um ponto de inflexão (veremos na sequência) com tangente vertical.

Passo 7

Derivada segunda — concavidade. Vou calcular y'' de forma organizada, usando a expressão y'=\tfrac{1}{3}(3x^{2}-2x)(x^{3}-x^{2})^{-2/3}. Faço a derivada por produto e cadeia:
Defina u(x)=\tfrac{1}{3}(3x^{2}-2x)=x^{2}-\tfrac{2}{3}x e v(x)=(x^{3}-x^{2})^{-2/3}. Então y'=u\,v. Aplicando y''=u'v+uv' e calculando u' e v':
u'(x)=2x-\tfrac{2}{3},\qquad v'(x)=-\tfrac{2}{3}(x^{3}-x^{2})^{-5/3}(3x^{2}-2x).
Substituindo e simplificando cuidadosamente (vou pular apenas passos algébricos longos, mas mostro a simplificação essencial), obtemos a forma compacta:
y''(x)=-\frac{2}{9}\,\frac{x^{2}}{(x^{3}-x^{2})^{5/3}}.
Para verificar rápido a consistência: o numerador tem x^{2} (sempre \ge0) e o sinal global é negativo multiplicado por (x^{3}-x^{2})^{-5/3}. Como (x^{3}-x^{2})^{5/3}=(x^{2}(x-1))^{5/3}=x^{10/3}(x-1)^{5/3}, a parte que determina o sinal é o fator (x-1)^{5/3} (porque x^{10/3}>0 para x\neq0). Para fins práticos e de sinal, uma forma útil é:
y''(x)=-\frac{2}{9}\,x^{-4/3}(x-1)^{-5/3},
válida para x\neq0,1.

Passo 8

Sinal de y'' — concavidade e pontos de inflexão. Como y''(x)=-\dfrac{2}{9}\,x^{-4/3}(x-1)^{-5/3}, note que x^{-4/3}>0 para todo x\neq0 (é uma potência de ordem par no numerador) e o sinal principal vem do fator - e do fator (x-1)^{-5/3}, cujo sinal é o mesmo de x-1 (porque o expoente \tfrac{5}{3} tem numerador ímpar). Assim
\operatorname{sign}(y'')=-\operatorname{sign}(x-1).
Portanto:
  • Para x<1 (ou seja x-1<0), temos \operatorname{sign}(y'')=-(\text{negativo})=+: y''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para x>1, \operatorname{sign}(y'')=-(\text{positivo})=-: y''<0 ⇒ concavidade para baixo.
Pontos onde y'' não está definida: x=0 e x=1. Mas para mudança de concavidade precisamos ver onde o sinal de y'' troca. Observamos que ao atravessar x=1 a concavidade muda de cima (para x<1) para baixo (para x>1). Assim x=1 é um ponto de inflexão da curva (a função é definida em x=1, y(1)=0, e a concavidade muda de sinal apesar de y'' não existir aí). Já x=0 não é ponto de inflexão porque a concavidade é para cima em ambos os lados de 0 (visto que ambos lados têm x<1), mesmo que y'' esteja indefinida em 0.
Conclusão:
  • Concavidade para cima em (-\infty,0)\cup(0,1).
  • Concavidade para baixo em (1,\infty).
  • Ponto de inflexão em (1,0).

Passo 9

Assíntotas e limites no infinito. Para procurar assíntotas oblíquas, escrevo
y=\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}=x\left(1-\frac{1}{x}\right)^{1/3},
pois x^{3}-x^{2}=x^{3}\big(1-\tfrac{1}{x}\big) e \sqrt[3]{x^{3}}=x (a raiz cúbica de x^{3} é x preservando o sinal). Para x\to\pm\infty aplico a expansão binomial para potência frac. \, (1+u)^{1/3}\approx 1+\tfrac{1}{3}u + o(u) para u\to0. Aqui u=-\tfrac{1}{x}. Então
y=x\left(1-\frac{1}{x}\right)^{1/3}\approx x\left(1-\frac{1}{3x}+\text{o}\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right)=x-\frac{1}{3}+\text{o}(1).
Isto mostra que
\lim_{x\to\pm\infty}\big(y-(x-\tfrac{1}{3})\big)=0.
Portanto a reta oblíqua y=x-\tfrac{1}{3} é assíntota oblíqua tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty. Não há assíntotas verticais porque a função é finita para todo x\in\mathbb{R}. Em x=0 e x=1 a derivada explode, mas a função tem valor finito (não diverge), logo não são assíntotas verticais, e sim tangentes verticais/cúspide.

Passo 10

Limites necessários e resumo de comportamento local (pontos notáveis):
  • Valores em pontos-chave:
y(0)=0,\qquad y(1)=0,\qquad y\!\Big(\tfrac{2}{3}\Big)=-\frac{\sqrt[3]{4}}{3}\approx -0{,}529.
  • Limites das derivadas em pontos singulares (confirmando tangentes verticais/cúspide):
\lim_{x\to0^-}y'(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to0^+}y'(x)=-\infty
(cúspide com máximo local em (0,0));
\lim_{x\to1^\pm}y'(x)=+\infty
(tangente vertical em (1,0), com inclinação +\infty em ambos os lados).
  • Limite ao infinito e assíntota:
\lim_{x\to\pm\infty}\big(y-(x-\tfrac{1}{3})\big)=0,
logo assíntota oblíqua y=x-\tfrac{1}{3}.

Passo 11

Esboço do gráfico — descrição para desenhar à mão rapidamente (coleção das características essenciais):
  • Domínio todo \mathbb{R}.
  • Interseções com x: (0,0) (máximo local cúspide) e (1,0) (zero com tangente vertical e ponto de inflexão).
  • Mínimo local em x=\tfrac{2}{3} com y=-\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\approx-0{,}529.
  • Cresce em (-\infty,0); desce em (0,\tfrac{2}{3}); cresce em (\tfrac{2}{3},\infty) (com um “salto” na derivada em 1 que é vertical, mas a função continua crescente).
  • Concavidade: curva é côncava para cima até x=1 (exceto que em x=0 há a cúspide), e côncava para baixo para x>1.
  • Assíntota oblíqua y=x-\tfrac{1}{3} para ambas as extremidades; ao se afastar da origem a curva aproxima-se dessa reta por cima/por baixo conforme o sinal de (x-1)^{1/3}.
  • Pontos especiais notados: cúspide / máximo local em (0,0); mínimo em \big(\tfrac{2}{3},-\tfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\big); inflexão em (1,0) com tangente vertical; comportamento linear dominando para |x| grandes, aproximando y\approx x-\tfrac{1}{3}.

Resposta

\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
\text{Raízes: }(0,0)\text{ e }(1,0).í
\text{Cresce em }(-\infty,0)\cup\big(\tfrac{2}{3},1\big)\cup(1,\infty).
\text{Decresce em }(0,\tfrac{2}{3}).
\text{Extremos locais: máximo em }(0,0);\\ \text{mínimo em }\Big(\tfrac{2}{3},-\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\Big).áí
\text{Concavidade: côncava para cima em }(-\infty,0)\cup(0,1),\\ \text{côncava para baixo em }(1,\infty).ôô
\text{Ponto de inflexão: }(1,0).ã
\text{Assíntota oblíqua: }y=x-\dfrac{1}{3}\\ (x\to\pm\infty).íí

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