Use o teste da comparação ou da comparação do limite para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n}{1+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{1+n^{2}}
Usaremos conteúdos de séries numéricas e, em particular, o teste da comparação pelo limite (teste de d’Alembert comparativo), já que os termos são positivos para todo n.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação pelo limite, escolhemos a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} com b_{n}=\frac{1}{n}, pois sabemos que ela diverge. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\tfrac{2n}{1+n^{2}}}{\tfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^{2}}{\,1+n^{2}\,} = 2.

Passo 3

Como 0<L<\infty e a série de comparação \sum b_{n}=\sum \tfrac{1}{n} diverge, pelo teste da comparação pelo limite concluímos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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