Use o teste da comparação ou da comparação do limite para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{5+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 + n^{2}}.
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação direta, comparando com a p‐série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.

Passo 2

Para todo n\ge1 vale
5 + n^{2} > n^{2},
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0 \le \frac{1}{5 + n^{2}} < \frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a p‐série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge porque o expoente p=2 satisfaz p>1.

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como
0 \le \frac{1}{5 + n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}
e \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{2} converge, concluímos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 + n^{2}} também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 + n^{2}} converge.

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