Use o teste da comparação ou da comparação do limite para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{7+2^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{3}{7 + 2^{\,n-1}},
usando o critério da comparação (ou comparação de limite). O conteúdo aqui é séries de termos positivos e comparação com uma série geométrica convergente.

Passo 2

Observamos que para todo n\ge1 vale 7+2^{\,n-1}\ge2^{\,n-1}. Logo
0 < a_n = \frac{3}{7 + 2^{\,n-1}} \le \frac{3}{2^{\,n-1}}.
A série \sum_{n=1}^\infty \tfrac{3}{2^{\,n-1}} é geométrica de razão \tfrac12, pois
\frac{3}{2^{\,n-1}} = 3\cdot2\cdot\frac{1}{2^n} = 6\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
e assim converge.

Passo 3

Para reforçar, fazemos a comparação de limite com a série geométrica de termo geral b_n = 2^{-n}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{7 + 2^{\,n-1}}}{2^{-n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot2^n}{7 + 2^{\,n-1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot2^n}{2^{\,n-1}\bigl(1 + \tfrac7{2^{\,n-1}}\bigr)} = \frac{3\cdot2}{1} = 6.
Como 0< L<\infty e \sum b_n = \sum 2^{-n} converge (série geométrica com razão \tfrac12), então \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{7 + 2^{\,n-1}} converge por comparação com uma série geométrica de razão \tfrac12.

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