Use o teste da comparação ou da comparação do limite para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}+5}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}+5}
usando o teste de comparação (ou comparação do limite). Vamos comparar com uma série geométrica de razão \tfrac23.

Passo 2

Note que para todo n\ge1 vale
3^n+5 \ge 3^n,
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0 \le \frac{2^{n-1}}{3^n+5} \le \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac12\Bigl(\frac23\Bigr)^n.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac12\Bigl(\frac23\Bigr)^n
é geométrica com razão r=\tfrac23 e \lvert r\rvert<1, portanto converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação, como
0\le a_n=\frac{2^{n-1}}{3^n+5}\le b_n=\frac12\Bigl(\frac23\Bigr)^n
e \sum b_n converge, concluímos que \sum a_n também converge.

Resposta

A série converge por comparação com uma série geométrica de razão \tfrac23.

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