Use o teste da comparação ou da comparação do limite para determinar a convergência da série.
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{4}{n(n-1)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{4}{n(n-1)}
usando o teste da comparação ou o teste da comparação de limite. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e p-séries.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{4}{n(n-1)},
que é positivo para todo n\ge2. Vamos comparar com a p-série
b_n = \frac{1}{n^2},
sabendo que \sum b_n converge pois p=2>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação de limite, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{4}{n(n-1)}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{4\,n^2}{n(n-1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n}{n-1} = 4.
Como 0<L<\infty e \sum b_n converge, pelo teste de comparação de limite concluímos que \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{4}{n(n-1)} converge.

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