Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{k}}
e pede para mostrarmos se ela converge ou diverge usando o teste da comparação no limite. Informações importantes que já podemos observar e que vamos usar:
  1. Os termos da série são positivos para todo k\ge 1, pois \sqrt{k}>0 e 1+\sqrt{k}>0. Isso permite usar testes de comparação.
  2. Precisamos decidir convergência ou divergência da soma dos termos \displaystyle a_k=\frac{1}{1+\sqrt{k}}.
  3. O enunciado exige especificamente o uso do teste da comparação no limite, então vou aplicar esse teste de forma direta e didática.

Passo 2

Vou explicar o teste da comparação no limite de forma simples e útil para a prova. Seja \{a_k\} e \{b_k\} duas sequências de termos não-negativos. O teste diz:
\text{Se }L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}\quad\text{existe e }0<L<\infty,
então as séries \sum a_k e \sum b_k convergem ou divergem juntas (ou seja, têm o mesmo comportamento). Aqui L é um número finito e positivo. Intuição rápida: se a_k e b_k são proporcionais quando k é grande, somá-los tem o mesmo tipo de resultado.

Passo 3

Escolher uma série para comparar. Olhando para
a_k=\frac{1}{1+\sqrt{k}},
para k grande o termo \sqrt{k} domina o 1 no denominador, então a_k se comporta como \dfrac{1}{\sqrt{k}}. Assim escolho
b_k=\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{1}{k^{1/2}}.
Motivo da escolha: b_k é uma série p-serie conhecida, com p=\tfrac{1}{2}, cujo comportamento (convergente ou divergente) conhecemos ou podemos demonstrar facilmente.

Passo 4

Calcular o limite do quociente \dfrac{a_k}{b_k}. Substituindo,
\frac{a_k}{b_k}=\frac{\dfrac{1}{1+\sqrt{k}}}{\dfrac{1}{\sqrt{k}}} =\frac{\sqrt{k}}{1+\sqrt{k}}.
Podemos reescrever esse quociente dividindo numerador e denominador por \sqrt{k}:
\frac{\sqrt{k}}{1+\sqrt{k}}=\frac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{k}}+1}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty. Como \dfrac{1}{\sqrt{k}}\to 0, obtemos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{k}}+1}=\frac{1}{0+1}=1.
Portanto L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação no limite: como L=1 e 0<L<\infty, a série \sum a_k tem o mesmo comportamento que \sum b_k. Então agora só falta decidir se \sum b_k=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{k}} converge ou diverge.

Passo 6

Mostrar que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{k}} diverge. Uma forma simples de ver isso é usar o teste da integral (ou lembrar da propriedade das p-séries): para p-séries \sum 1/k^p, a série converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, então diverge. Para deixar explícito com a integral, consideramos a função f(x)=x^{-1/2} para x\ge1. O integral impróprio é
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=\lim_{N\to\infty}\int_{1}^{N} x^{-1/2}\,dx =\lim_{N\to\infty}\left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{N} =\lim_{N\to\infty}2(\sqrt{N}-1)=\infty.
Como o integral divergente implica que a série \sum_{k=1}^{\infty} x^{-1/2}\big|_{x=k}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{k}} também diverge, concluímos que \sum b_k diverge.

Passo 7

Concluir para a série original usando o resultado do passo anterior e o teste da comparação no limite do passo 5: \sum b_k diverge e \lim_{k\to\infty}\dfrac{a_k}{b_k}=1\in(0,\infty), logo \sum a_k também diverge. Em palavras: como a_k é assintoticamente equivalente a b_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}} e a série b_k diverge, a série dada diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{k}} diverge.

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