Exemplo 5.2 Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
(a) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}-1}
(b) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}
Resolução:
(a) Vamos utilizar o teste da comparação no limite com
a_{k}=\frac{1}{2^{k}-1} \quad \text { e } \quad b_{k}=\frac{1}{2^{k}}
Como este limite existe e \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} é uma série geométrica convergente, então a série dada converge pelo teste da comparação no limite.
(b) O termo dominante do numerador é 2 k^{2} e o termo dominante do denominador é \sqrt{k^{5}}=k^{5 / 2}. Isto sugere considerar
O enunciado pede para determinar se cada uma das duas séries infinitas abaixo é convergente ou divergente:
(a) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}-1}
(b) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}
Informações relevantes dadas:
Para (a): o termo geral é a_k=\dfrac{1}{2^{k}-1}.
Para (b): o termo geral é a_k=\dfrac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}.
Temos que decidir convergência (soma finita) ou divergência (soma infinita) de cada série.
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática curta do teste que usarei): vou usar o teste da comparação no limite. Esse teste funciona assim: se a_k>0 e b_k>0 para todo k grande o suficiente e
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=L
com 0<L<\infty, então as duas séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento — ou ambas convergem, ou ambas divergem. Ou seja, comparar com uma série cuja convergência já conhecemos (por exemplo, série geométrica ou p-série) resolve o problema. Vou aplicar isso em cada item, explicando passo a passo.
Passo 3
Resolução do item (a). Escolha de comparação: observe que para grandes k temos 2^{k}-1 muito próximo de 2^{k}. Então uma escolha natural é
Portanto o limite L é 1, que é um número positivo e finito.
Passo 5
Conclusão para (a) e justificativa final (didática): pelo teste da comparação no limite, como \lim_{k\to\infty}a_k/b_k=1 com 0<1<\infty, a série \sum a_k tem o mesmo comportamento que \sum b_k. Sabemos que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{k}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{2} (porque \dfrac{1}{2^{k}}=(1/2)^k até constantes de índice) e séries geométricas com |r|<1 convergem. Por isso
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}-1}
converge. (Se quiser lembrar a soma exata da geométrica: \sum_{k=1}^{\infty}(1/2)^k=\dfrac{1/2}{1-1/2}=1, mas não precisamos do valor, só da convergência.)
Passo 6
Resolução do item (b). Primeiro, detectamos os termos dominantes quando k é grande: no numerador o termo dominante é 2k^{2} (porque 2k^2 cresce mais rápido que 3k) e no denominador temos \sqrt{5+k^{5}}; para grandes k o k^{5} domina, e
\sqrt{5+k^{5}}\sim\sqrt{k^{5}}=k^{5/2}.
Então o termo a_k se comporta, para k grande, como
Continuo o cálculo dividindo numerador e denominador por k^{5/2} (truque padrão para limites de razões de polinômios/raízes): note que \sqrt{5+k^{5}}=k^{5/2}\sqrt{\dfrac{5}{k^{5}}+1}. Então
Conclusão para (b) com explicação didática: pelo teste da comparação no limite, como \lim_{k\to\infty}a_k/b_k=1 com 0<1<\infty, a série \sum a_k tem o mesmo comportamento que \sum b_k. A série comparativa é
Aqui entra o teste conhecido das p-séries: a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\dfrac{1}{2}\le 1, então \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{1/2}} diverge (é, por exemplo, mais “lenta” que a série harmônica e diverge). Multiplicar por 2 não muda essa conclusão, logo \sum b_k diverge. Portanto \sum a_k também diverge.