Exemplo 5.2 Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
(a) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}-1}
(b) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}

Resolução:

(a) Vamos utilizar o teste da comparação no limite com
a_{k}=\frac{1}{2^{k}-1} \quad \text { e } \quad b_{k}=\frac{1}{2^{k}}
de modo a obter
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}}=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\left(\frac{1}{2^{k}-1}\right)}{\left(\frac{1}{2^{k}}\right)}=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{2^{k}}{2^{k}-1}=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{2^{k}}}=1>0
Como este limite existe e \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} é uma série geométrica convergente, então a série dada converge pelo teste da comparação no limite.
(b) O termo dominante do numerador é 2 k^{2} e o termo dominante do denominador é \sqrt{k^{5}}=k^{5 / 2}. Isto sugere considerar
a_{k}=\frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}} \quad \text { e } \quad b_{k}=\frac{2 k^{2}}{k^{5 / 2}}=\frac{2}{k^{1 / 2}}
então
\begin{aligned} \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} & =\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}\right) \cdot\left(\frac{k^{1 / 2}}{2}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\frac{2 k^{5 / 2}+3 k^{3 / 2}}{2 \sqrt{5+k^{5}}}\right) \\\ & =\lim _{k \rightarrow \infty}\left[\frac{k^{5 / 2}}{k^{5 / 2}}\left(\frac{2+\frac{3}{k}}{2 \sqrt{\frac{5}{k^{5}}+1}}\right)\right]=\lim _{k \rightarrow \infty}\left[\frac{2+\frac{3}{k}}{2 \sqrt{\frac{5}{k^{5}}+1}}\right]=\frac{2}{2 \sqrt{1}}=1>0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada uma das duas séries infinitas abaixo é convergente ou divergente:
(a) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}-1}
(b) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}
Informações relevantes dadas:
  • Para (a): o termo geral é a_k=\dfrac{1}{2^{k}-1}.
  • Para (b): o termo geral é a_k=\dfrac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}.
  • Temos que decidir convergência (soma finita) ou divergência (soma infinita) de cada série.

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática curta do teste que usarei): vou usar o teste da comparação no limite. Esse teste funciona assim: se a_k>0 e b_k>0 para todo k grande o suficiente e
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=L
com 0<L<\infty, então as duas séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento — ou ambas convergem, ou ambas divergem. Ou seja, comparar com uma série cuja convergência já conhecemos (por exemplo, série geométrica ou p-série) resolve o problema. Vou aplicar isso em cada item, explicando passo a passo.

Passo 3

Resolução do item (a). Escolha de comparação: observe que para grandes k temos 2^{k}-1 muito próximo de 2^{k}. Então uma escolha natural é
a_k=\frac{1}{2^{k}-1},\qquad b_k=\frac{1}{2^{k}}.
Agora calculamos o limite do quociente:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{1}{2^{k}-1}}{\frac{1}{2^{k}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{2^{k}}{2^{k}-1}.

Passo 4

Continuação do cálculo do limite para (a). Faço uma manipulação simples:
\frac{2^{k}}{2^{k}-1}=\frac{1}{1-\dfrac{1}{2^{k}}}.
Quando k\to\infty temos \dfrac{1}{2^{k}}\to 0, então
\lim_{k\to\infty}\frac{2^{k}}{2^{k}-1} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1-\dfrac{1}{2^{k}}}=1.
Portanto o limite L é 1, que é um número positivo e finito.

Passo 5

Conclusão para (a) e justificativa final (didática): pelo teste da comparação no limite, como \lim_{k\to\infty}a_k/b_k=1 com 0<1<\infty, a série \sum a_k tem o mesmo comportamento que \sum b_k. Sabemos que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{k}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{2} (porque \dfrac{1}{2^{k}}=(1/2)^k até constantes de índice) e séries geométricas com |r|<1 convergem. Por isso
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}-1}
converge. (Se quiser lembrar a soma exata da geométrica: \sum_{k=1}^{\infty}(1/2)^k=\dfrac{1/2}{1-1/2}=1, mas não precisamos do valor, só da convergência.)

Passo 6

Resolução do item (b). Primeiro, detectamos os termos dominantes quando k é grande: no numerador o termo dominante é 2k^{2} (porque 2k^2 cresce mais rápido que 3k) e no denominador temos \sqrt{5+k^{5}}; para grandes k o k^{5} domina, e
\sqrt{5+k^{5}}\sim\sqrt{k^{5}}=k^{5/2}.
Então o termo a_k se comporta, para k grande, como
\frac{2k^{2}}{k^{5/2}}=\frac{2}{k^{1/2}}.
Com isso a escolha natural para comparar é
a_k=\frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}},\qquad b_k=\frac{2}{k^{1/2}}.

Passo 7

Cálculo do limite \lim_{k\to\infty} \dfrac{a_k}{b_k} para (b). Escrevo o quociente e simplifico passo a passo:
\frac{a_k}{b_k} =\left(\frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}\right)\div\left(\frac{2}{k^{1/2}}\right) =\left(\frac{2 k^{2}+3 k}{\sqrt{5+k^{5}}}\right)\cdot\left(\frac{k^{1/2}}{2}\right).
Multiplicando os termos:
\frac{a_k}{b_k}=\frac{2k^{5/2}+3k^{3/2}}{2\sqrt{5+k^{5}}}.

Passo 8

Continuo o cálculo dividindo numerador e denominador por k^{5/2} (truque padrão para limites de razões de polinômios/raízes): note que \sqrt{5+k^{5}}=k^{5/2}\sqrt{\dfrac{5}{k^{5}}+1}. Então
\frac{a_k}{b_k} =\frac{k^{5/2}\left(2+\dfrac{3}{k}\right)}{2\,k^{5/2}\sqrt{\dfrac{5}{k^{5}}+1}} =\frac{2+\dfrac{3}{k}}{2\sqrt{\dfrac{5}{k^{5}}+1}}.
Agora passo o limite:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{2+\dfrac{3}{k}}{2\sqrt{\dfrac{5}{k^{5}}+1}} =\frac{2+0}{2\sqrt{0+1}}=\frac{2}{2}=1.
Então o limite L é 1, positivo e finito.

Passo 9

Conclusão para (b) com explicação didática: pelo teste da comparação no limite, como \lim_{k\to\infty}a_k/b_k=1 com 0<1<\infty, a série \sum a_k tem o mesmo comportamento que \sum b_k. A série comparativa é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k^{1/2}}=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{1/2}}.
Aqui entra o teste conhecido das p-séries: a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\dfrac{1}{2}\le 1, então \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{1/2}} diverge (é, por exemplo, mais “lenta” que a série harmônica e diverge). Multiplicar por 2 não muda essa conclusão, logo \sum b_k diverge. Portanto \sum a_k também diverge.

Resposta

(a) Converge.
(b) Diverge.

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