Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3 n+2}{2 n-1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} \quad\text{com}\quad a_{n}=\Bigl(\frac{3n+2}{2n-1}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da raiz, que consiste em calcular
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}.

Passo 2

O teste da raiz diz:
  • Se L<1, a série converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui temos a_{n}>0, então basta achar esse L.

Passo 3

Primeiro escrevemos a n-ésima raiz de a_{n}:
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{3n+2}{2n-1}\Bigr)^{n}} = \frac{3n+2}{2n-1}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{2n-1} = \lim_{n\to\infty}\frac{3 + \tfrac{2}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Como obtivemos
L = \frac{3}{2} > 1,
o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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